Okręgi i koła
Zadanie 21, czerwiec 2023, poziom podstawowy
Odcinek \(AB\) jest średnicą okręgu o środku \(S\). Prosta \(k\) jest styczna do tego okręgu w punkcie \(A\). Prosta \(l\) przecina ten okrąg w punktach \(B\) i \(C\). Proste \(k\) i \(l\) przecinają się w punkcie \(D\), przy czym \(|BC|=4\) i \(|CD|=3\) (zobacz rysunek).
**Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.**
Odległość punktu \(A\) od prostej \(l\) jest równa
**A.** \(\frac72\)
**B.** \(5\)
**C.** \(\sqrt{12}\)
**D.** \(\sqrt3+2\)
Odpowiedź
**C.** \(\sqrt{12}\)
Rozwiązanie krok po kroku
Z twierdzenia o stycznej i siecznej:
\[|DA|^2=|DC|\cdot|DB|=3\cdot(3+4)=21,\]
więc \(|DA|=\sqrt{21}\). Trójkąt \(DAB\) jest prostokątny, a \(|DB|=7\), zatem
\[|AB|=\sqrt{7^2-(\sqrt{21})^2}=2\sqrt7.\]
Szukana odległość jest wysokością \(h\) opuszczoną z \(A\) na \(DB\). Porównując dwa wzory na pole trójkąta \(DAB\), otrzymujemy
\[h=\frac{|DA|\cdot|AB|}{|DB|}=\frac{\sqrt{21}\cdot2\sqrt7}{7}=2\sqrt3=\sqrt{12}.\]
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź **C**
**0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
**Wymagania szczegółowe:**
VIII.1 zdający wyznacza średnice, długości cięciw i odcinków stycznych, w tym z wykorzystaniem twierdzenia Pitagorasa.
