Trójkąty
Zadanie 20, czerwiec 2023, poziom podstawowy
Dany jest trójkąt, którego kąty mają miary \(30^\circ\), \(45^\circ\) oraz \(105^\circ\). Długości boków trójkąta, leżących naprzeciwko tych kątów, są równe - odpowiednio - \(a\), \(b\) oraz \(c\) (zobacz rysunek).
**Uzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami A-F.**
Pole tego trójkąta poprawnie określają wyrażenia oznaczone literami:
**A.** \(\frac{\sqrt2}{2}ac\)
**B.** \(\frac14ac\)
**C.** \(\frac{\sqrt2}{4}ac\)
**D.** \(\frac{\sqrt3}{4}bc\)
**E.** \(\frac12bc\)
**F.** \(\frac14bc\)
Odpowiedź
**C** i **F**: \(\frac{\sqrt2}{4}ac\) oraz \(\frac14bc\)
Rozwiązanie krok po kroku
Boki \(a\) i \(c\) tworzą kąt \(45^\circ\), więc
\[P=\frac12ac\sin45^\circ=\frac12ac\cdot\frac{\sqrt2}{2}=\frac{\sqrt2}{4}ac,\]
czyli odpowiedź **C**. Boki \(b\) i \(c\) tworzą kąt \(30^\circ\), więc
\[P=\frac12bc\sin30^\circ=\frac12bc\cdot\frac12=\frac14bc,\]
czyli odpowiedź **F**.
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – wybranie obu poprawnych odpowiedzi: **C** i **F**
**1 pkt** – wybranie jednej lub dwóch odpowiedzi, z których jedna jest poprawna: **C** albo **F**
**0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
**Wymagania szczegółowe:**
VII.3 zdający stosuje wzór na pole trójkąta \(P=\frac12ab\sin\gamma\).
