Zadanie 6 – matura z matematyki czerwiec 2020, poziom rozszerzony

\(a\in(-2,-1)\cup(3,4)\). Równanie \(|x-5|=(a-1)^{2}-4\) ma dwa różne dodatnie rozwiązania dokładnie wtedy, gdy \(0\lt (a-1)^{2}-4\lt 5\), czyli \(4\lt (a-1)^{2}\lt 9\).

**Krok \(1\).** Metoda: parametr występuje wyłącznie po prawej stronie równania, więc podstawiamy \(t=(a-1)^{2}-4\) i badamy proste równanie \(|x-5|=t\). **Krok \(2\).** Równanie \(|x-5|=t\) ma dwa różne rozwiązania \(x=5+t\) oraz \(x=5-t\) dokładnie wtedy, gdy \(t\gt 0\) (dla \(t=0\) jest jedno rozwiązanie, dla \(t\lt 0\) — żadnego). **Krok \(3\).** Żądamy, by oba rozwiązania były dodatnie. Warunek \(5+t\gt 0\) jest spełniony automatycznie, gdy \(t\gt 0\); warunek \(5-t\gt 0\) oznacza \(t\lt 5\). **Krok \(4\).** Łącznie: \(0\lt t\lt 5\), czyli \[0\lt (a-1)^{2}-4\lt 5,\qquad 4\lt (a-1)^{2}\lt 9.\] **Krok \(5\).** Pierwiastkujemy, pamiętając, że \(\sqrt{u^{2}}=|u|\): \[2\lt |a-1|\lt 3.\] **Krok \(6\).** Nierówność \(|a-1|\gt 2\) daje \(a\lt -1\) lub \(a\gt 3\), a nierówność \(|a-1|\lt 3\) daje \(-2\lt a\lt 4\). **Krok \(7\).** Częścią wspólną tych zbiorów jest \(a\in(-2,-1)\cup(3,4)\). **Uwaga.** Warto zauważyć, że wykres funkcji \(x\mapsto |x-5|\) to litera V o wierzchołku \((5,0)\) i wartości \(5\) w punkcie \(x=0\). Prosta pozioma \(y=t\) przecina ten wykres w dwóch punktach o dodatnich odciętych dokładnie dla \(t\) leżących między \(0\) a \(5\) — to ten sam warunek, tylko odczytany z rysunku. **Odpowiedź.** \(a\in(-2,-1)\cup(3,4)\).

I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania ....................................................................................... 1p. Zdający naszkicuje wykres funkcji f określonej wzorem: • f ( x ) = x − 5 albo • f ( x ) = x − 5 + 4 i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. Pokonanie zasadniczych trudności zadania .................................................................. 2p. Zdający zapisze układ nierówności • 0 < ( a −1 )2 − 4 < 5 oraz rozwiąże poprawnie jedną z nierówności tego układu albo • 4 < ( a −1 )2 < 9 oraz rozwiąże poprawnie jedną z nierówności tego układu i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. Rozwiązanie pełne ………………………………………………………………………………. 3p. Zdający rozwiąże układ nierówności i zapisze, że a ∈( −2, −1 ) ∪ ( 3, 4 ) . Egzamin maturalny z matematyki – termin główny 2020 r. Zasady oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania ........................................................................................ 1p. Zdający zapisze, że podane równanie ma dwa rozwiązania dodatnie, gdy spełniona jest nierówność 0 < x − 5 < 5 i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. Pokonanie zasadniczych trudności zadania .................................................................. 2p. Zdający zapisze układ nierówności 0 < ( a −1 )2 − 4 < 5 oraz rozwiąże poprawnie jedną z dwóch nierówności tego układu i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. Rozwiązanie pełne ............................................................................................................. 3p. Zdający rozwiąże układ nierówności i zapisze, że a ∈( −2, −1 ) ∪ ( 3, 4 ) . Zasady oceniania III sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania ........................................................................................ 1p. Zdający: • zapisze, że podane równanie ma więcej niż jedno rozwiązanie wtedy, gdy spełniona jest nierówność ( a −1 )2 − 4 > 0 , albo • zapisze podane równanie w postaci alternatywy równań x − 5 = ( a −1 )2 − 4 lub x − 5 = − ( a −1 )2 + 4 i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. Pokonanie zasadniczych trudności zadania .................................................................. 2p. Zdający: • zapisze, że podane równanie ma więcej niż jedno rozwiązanie wtedy, gdy spełniona jest nierówność ( a −1 )2 − 4 > 0 i • zapisze podane równanie w postaci alternatywy równań x − 5 = ( a −1 )2 − 4 lub x − 5 = − ( a −1 )2 + 4 i • rozwiąże poprawnie przynajmniej jedną z trzech nierówności: ( a −1 )2 − 4 > 0 , ( a −1 )2 +1 > 0 , 9 − ( a −1 )2 > 0 i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. Rozwiązanie pełne ............................................................................................................. 3p. Zdający zapisze, że a ∈( −2, −1 ) ∪ ( 3, 4 ) . Zasady oceniania rozwiązań zadań Zasady oceniania IV sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania ....................................................................................... 1p. Zdający • zapisze warunek istnienia rozwiązań rzeczywistych równania x − 5 = ( a −1 )2 − 4 : ( a −1 )2 − 4 ≥ 0 albo • zdający zapisze układ nierówności: ( ) ( −10 )2 − 4  25 − ( ( a −1 )2 − 4 ) 2  > 0 i − −10 > 0 i 25 − ( ( a −1 )2 − 4 ) 2 > 0   1   i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. Pokonanie zasadniczych trudności zadania ................................................................... 2p. Zdający zapisze układ nierówności ( ) ( a −1 )2 − 4 ≥ 0 i ( −10 )2 − 4  25 − ( ( a −1 )2 − 4 ) 2  > 0 i − −10 > 0 i 25 − ( ( a −1 )2 − 4 ) 2 > 0   1   i poprawnie rozwiąże drugą lub czwartą z nich i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. Rozwiązanie pełne .............................................................................................................. 3p. Zdający rozwiąże układ nierówności i zapisze, że a ∈ ( −2, −1 ) ∪ ( 3, 4 ) . Zasady oceniania V sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania ....................................................................................... 1p. Zdający zastosuje definicję wartości bezwzględnej i zapisze równanie w każdym z dwóch przypadków: gdy x − 5 ≥ 0, to x − 5 = ( a −1 )2 − 4 , gdy x − 5 < 0, to 5 − x = ( a −1 )2 − 4 i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. Pokonanie zasadniczych trudności zadania ................................................................... 2p. Zdający zapisze warunki na to, żeby rozwiązaniem równania była liczba dodatnia w każdym z dwóch rozpatrywanych przypadków i wyznaczy wszystkie wartości parametru a, dla których rozwiązaniem równania jest liczba dodatnia w jednym z tych przypadków: • gdy x − 5 ≥ 0, to ( a −1 )2 +1 > 0 i ( a −1 )2 +1 ≥ 5 , skąd a ∈ ( −∞, −1 ∪ 3, + ∞) albo • gdy x − 5 < 0, to 9 − ( a −1 )2 > 0 i 9 − ( a −1 )2 < 5 , skąd a ∈( −2, −1 ) ∪ ( 3, 4 ) i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. Egzamin maturalny z matematyki – termin główny 2020 r. Rozwiązanie pełne .............................................................................................................. 3p. Zdający wyznaczy wszystkie wartości parametru a, dla których równanie x − 5 = ( a −1 )2 − 4 ma dwa rozwiązania dodatnie: a ∈( −2, −1 ) ∪ ( 3, 4 ) . Uwaga Jeżeli zdający rozpatrzy oba przypadki, ale w pierwszym przypadku nie skomentuje, że nierówność ( a −1 )2 +1 > 0 jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej a, to może otrzymać 3 punkty za całe rozwiązanie. Uwagi 1. Jeśli zdający rozwiązuje zadanie sposobem II lub III zapisze nierówność ( a − 1 )2 − 4 ≥ 0 i konsekwentnie do tego błędu rozwiąże zadanie do końca, otrzymując w odpowiedzi zbiór ( −2, −1 ∪ 3, 4 ) , to otrzymuje 2 punkty. 2. Jeżeli zdający rozwiązuje zadanie I sposobem i naszkicowany wykres zawiera usterki, ale dalsze rozumowanie jest prawidłowe, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty. 3. Jeżeli zdający, sporządzając wykres funkcji f ( x ) = x − 5 + 4 , błędnie przesunie wykres funkcji y = x − 5 o 4 jednostki w dół i konsekwentnie przeprowadzi rozumowanie do końca, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie. 4. Jeżeli zdający, sporządzając wykres funkcji f ( x ) = x − 5 + 4 , zamieni miejscami współrzędne wektora przesunięcia, otrzyma wykres funkcji, dla której istnieją dwa rozwiązania dodatnie równania f ( x ) = ( a −1 )2 i konsekwentnie przeprowadzi rozumowanie do końca, to może otrzymać co najwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie. 5. Jeżeli zdający, sporządzając wykres funkcji f ( x ) = x − 5 , błędnie przesunie wykres funkcji y = x , i otrzyma wykres funkcji g takiej, że nie istnieją dwa dodatnie rozwiązania równania g ( x ) = ( a −1 )2 − 4 , to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie. Zasady oceniania rozwiązań zadań

Zadanie 6. (0–3) Wymagania ogólne Wymagania szczegółowe IV. Użycie i tworzenie strategii. 1. Liczby rzeczywiste. Zdający wykorzystuje pojęcie wartości bez względnej i jej interpretację geometryczną (R1.1). 4. Funkcje. Zdający szkicuje wykres funkcji określonej w różnych przedziałach różnymi wzorami; odczytuje własności takiej funkcji z wykresu (R4.4).