Trójkąty
Zadanie 16, czerwiec 2019, poziom podstawowy
Na okręgu o środku w punkcie \(O\) wybrano trzy punkty \(A\), \(B\), \(C\) tak, że \(|\angle AOB|=70^\circ\), \(|\angle OAC|=25^\circ\). Cięciwa \(AC\) przecina promień \(OB\) (zobacz rysunek). Wtedy miara \(\angle OBC\) jest równa
**A.** \(25^\circ\)
**B.** \(60^\circ\)
**C.** \(70^\circ\)
**D.** \(85^\circ\)
Odpowiedź
**B.** \(60^\circ\)
Rozwiązanie krok po kroku
W trójkącie \(AOC\) mamy \(|OA|=|OC|\), więc \(|\angle OAC|=|\angle ACO|=25^\circ\). Zatem
\[|\angle AOC|=180^\circ-2\cdot25^\circ=130^\circ.\]
Promień \(OB\) leży wewnątrz kąta \(AOC\), więc
\[|\angle BOC|=130^\circ-70^\circ=60^\circ.\]
Ponieważ \(|OB|=|OC|\), trójkąt \(BOC\) jest równoramienny, a oba kąty przy podstawie mają miarę
\[\frac{180^\circ-60^\circ}{2}=60^\circ.\]
Stąd \(|\angle OBC|=60^\circ\).
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna: B
**0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
Klucz CKE dla zadań zamkniętych w tym arkuszu podaje odpowiedzi, bez osobnej tabeli wymagań.
**Klasyfikacja rzeczowa:** planimetria - kąty środkowe i własności trójkątów równoramiennych utworzonych przez promienie.
