Geometria płaska
Zadanie 11, czerwiec 2013, poziom podstawowy
Punkt \(O\) jest środkiem okręgu. Kąt \(\alpha\), zaznaczony na rysunku, ma miarę
**A.** \(50^\circ\)
**B.** \(45^\circ\)
**C.** \(25^\circ\)
**D.** \(20^\circ\)
Odpowiedź
**C.** \(25^\circ\)
Rozwiązanie krok po kroku
Oznaczmy: \(Q\) – punkt styczności prostej z okręgiem (skrajny prawy punkt okręgu), \(P\) – punkt okręgu położony u góry po prawej, \(R\) – punkt okręgu położony u dołu po lewej, \(T\) – punkt przecięcia stycznej z prostą \(PO\). Z rysunku: prosta \(TPO\) przechodzi przez środek okręgu, a kąt przy \(T\) ma \(40^\circ\).
Promień poprowadzony do punktu styczności jest prostopadły do stycznej, więc \(\lvert\angle OQT\rvert=90^\circ\). Z sumy kątów trójkąta \(OQT\)
\[\lvert\angle QOT\rvert=180^\circ-90^\circ-40^\circ=50^\circ.\]
Punkt \(P\) leży na półprostej \(OT\), więc kąt środkowy oparty na łuku \(PQ\) ma miarę \(50^\circ\).
Kąt \(\alpha\) jest kątem wpisanym opartym na tym samym łuku \(PQ\), zatem
\[\alpha=\tfrac12\cdot50^\circ=25^\circ.\]
**Odpowiedź.** C. \(25^\circ\)
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **C**
**0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Wymagania podstawy programowej
Zadanie 11. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2013 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Geometria płaska.
