Równania i nierówności
Zadanie 23, zbiór zadań z informatora 2025, poziom rozszerzony
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) trapez \(ABCD\) jest wpisany w okrąg o środku \(S=(19,-11)\) i promieniu \(17\sqrt2\). Odcinek \(AB\) jest dłuższą podstawą tego trapezu. Jego przekątna \(AC\) jest zawarta w prostej o równaniu \(y=x\). Wierzchołek \(A\) trapezu ma obie współrzędne ujemne.
Oblicz sinus kąta \(ABC\). Zapisz obliczenia.
Odpowiedź
\(\sin\angle ABC=\frac8{17}\).
Rozwiązanie krok po kroku
Okrąg ma równanie
\[(x-19)^2+(y+11)^2=578.\]
Punkty \(A\) i \(C\) leżą również na prostej \(y=x\), więc
\[(x-19)^2+(x+11)^2=578\iff2x^2-16x-96=0.\]
Stąd \(A=(-4,-4)\) i \(C=(12,12)\), zatem \(|AC|=16\sqrt2\). Z twierdzenia sinusów dla trójkąta wpisanego w okrąg o promieniu \(17\sqrt2\):
\[\sin\angle ABC=\frac{|AC|}{2R}=\frac{16\sqrt2}{34\sqrt2}=\frac8{17}.\]
Klucz i zasady oceniania
**3 pkt** – poprawna metoda i wynik.
**2 pkt** – obliczenie długości \(|AC|\).
**1 pkt** – wyznaczenie punktów \(A,C\) albo odległości środka okręgu od prostej \(AC\).
**0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. Rozumowanie i argumentacja - stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych.
**Wymagania szczegółowe:**
IX. Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej.
1R) Zdający znajduje punkty wspólne prostej i okręgu.
VII. Trygonometria.
7R) Zdający stosuje twierdzenie sinusów.
