Zadanie 13 – matura z matematyki maj 2026, poziom rozszerzony

\[m\in(1,+\infty).\]

**Krok \(1\).** Metoda: korzystamy z interpretacji geometrycznej. Parabola o ramionach skierowanych w górę ma dwa różne miejsca zerowe w przedziale \((-2,2)\) dokładnie wtedy, gdy jednocześnie \(\Delta\gt 0\), odcięta wierzchołka leży w tym przedziale oraz \(f(-2)\gt 0\) i \(f(2)\gt 0\). **Krok \(2\).** Z założenia \(m\neq 0\), więc współczynnik przy \(x^{2}\) jest równy \(m^{2}\gt 0\) — ramiona są skierowane w górę i funkcja jest kwadratowa. **Krok \(3\).** Wyróżnik: \[\Delta=(-2m)^{2}-4m^{2}(-m+1)=4m^{2}\bigl[1-(1-m)\bigr]=4m^{3}.\] Warunek \(\Delta\gt 0\) jest równoważny \(m\gt 0\). **Krok \(4\).** Odcięta wierzchołka: \(p=\frac{2m}{2m^{2}}=\frac{1}{m}\). Przy \(m\gt 0\) nierówność \(\frac{1}{m}\gt -2\) jest spełniona automatycznie, a \(\frac{1}{m}\lt 2\) daje \(m\gt\frac{1}{2}\). **Krok \(5\).** Obliczamy \(f(-2)\): \[f(-2)=4m^{2}+4m-m+1=4m^{2}+3m+1.\] Wyróżnik tego trójmianu wynosi \(9-16=-7\lt 0\), a współczynnik wiodący jest dodatni, więc \(f(-2)\gt 0\) dla każdego \(m\) — ten warunek niczego nie ogranicza. **Krok \(6\).** Obliczamy \(f(2)\): \[f(2)=4m^{2}-4m-m+1=4m^{2}-5m+1=(4m-1)(m-1)\gt 0,\] skąd \(m\lt\frac{1}{4}\) lub \(m\gt 1\). **Krok \(7\).** Zestawiamy warunki: \(m\gt 0\), \(m\gt\frac{1}{2}\) oraz \(\left(m\lt\frac{1}{4}\ \text{lub}\ m\gt 1\right)\). Przedział \(m\lt\frac{1}{4}\) nie ma części wspólnej z \(m\gt\frac{1}{2}\), więc zostaje \(m\gt 1\). **Uwaga.** Wszystkie pięć warunków jest potrzebnych i żaden z nich nie wynika z pozostałych: znak wartości na końcach przedziału gwarantuje, że pierwiastki nie wypadną poza \((-2,2)\), a położenie wierzchołka — że nie wypadną oba po tej samej stronie przedziału. Nierówność \(\Delta\gt 0\) musi być ostra, bo miejsca zerowe mają być różne. **Odpowiedź.** \(m\in(1,+\infty)\).

**Zasady oceniania (dla sposobu I)** **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **1 pkt** – zapisanie wszystkich warunków 1) – 5): 1) \(f(p)<0\) (lub \(q<0\), lub \(\Delta>0\)), 2) \(p>-2\), 3) \(p<2\), 4) \(f(-2)>0\), 5) \(f(2)>0\), ALBO rozwiązanie jednego z warunków 1) – 5): 1) \(f(p)<0\) (lub \(q<0\), lub \(\Delta>0\)): \(m\in(0,+\infty)\), 2) \(p>-2\): \(m\in\left(-\infty,-\frac{1}{2}\right)\cup(0,+\infty)\), 3) \(p<2\): \(m\in(-\infty,0)\cup\left(\frac{1}{2},+\infty\right)\), 4) \(f(-2)>0\): \(m\in\mathbb{R}\), 5) \(f(2)>0\): \(m\in\left(-\infty,\frac{1}{4}\right)\cup(1,+\infty)\). **2 pkt** – rozwiązanie trzech spośród warunków 1) – 5) określonych w kryterium za 1 punkt. **3 pkt** – rozwiązanie czterech spośród warunków 1) – 5) określonych w kryterium za 1 punkt. **4 pkt** – rozwiązanie pięciu warunków 1) – 5) określonych w kryterium za 1 punkt. **5 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \((1,+\infty)\). Uwagi: 1. Jeżeli zdający rozwiązuje warunek \(\Delta\geq 0\), to za tę część rozwiązania otrzymuje 0 punktów. 2. Jeżeli zdający: a) nie rozwiąże wszystkich warunków 1) – 5) określonych w kryterium za 1 punkt albo b) podczas rozwiązywania warunków 1) – 5) popełni błędy rachunkowe i otrzyma zbiory rozwiązań, których część wspólna jest zbiorem pustym, albo c) popełni błąd, który nie jest rachunkowy, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie. **Zasady oceniania (dla sposobu II)** **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **1 pkt** – wyznaczenie wszystkich wartości parametru \(m\), dla których funkcja \(f\) ma dokładnie dwa miejsca zerowe: \(m\in(0,+\infty)\) ALBO wyznaczenie miejsc zerowych funkcji \(f\) w zależności od \(m\): \(x_1=\frac{1-\sqrt{m}}{m}\) oraz \(x_2=\frac{1+\sqrt{m}}{m}\). **2 pkt** – spełnienie warunku I) i jednego z warunków II) – V): I) wyznaczenie wszystkich wartości parametru \(m\), dla których funkcja \(f\) ma dokładnie dwa miejsca zerowe oraz wyznaczenie miejsc zerowych \(x_1\) oraz \(x_2\) funkcji \(f\) w zależności od \(m\): \(m\in(0,+\infty)\) i \(x_1=\frac{1-\sqrt{m}}{m}\) oraz \(x_2=\frac{1+\sqrt{m}}{m}\), II) rozwiązanie nierówności \(x_1<2\): \(m\in\left(\frac{1}{4},+\infty\right)\), III) rozwiązanie nierówności \(-2<x_1\): \(m\in(0,+\infty)\), IV) rozwiązanie nierówności \(x_2<2\): \(m\in(1,+\infty)\), V) rozwiązanie nierówności \(-2<x_2\): \(m\in(0,+\infty)\), ALBO spełnienie trzech spośród warunków II) – V). **3 pkt** – spełnienie czterech spośród warunków I) – V) określonych w kryterium za 2 punkty ALBO spełnienie warunków I) oraz III), oraz zapisanie \(x_1<x_2\), ALBO spełnienie warunków I) oraz IV), oraz zapisanie \(x_1<x_2\), ALBO spełnienie warunków III) oraz IV), oraz zapisanie \(x_1<x_2\). **4 pkt** – rozwiązanie pięciu warunków I) – V) określonych w kryterium za 2 punkty ALBO spełnienie warunków I) oraz III), oraz IV), oraz zapisanie \(x_1<x_2\). **5 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \((1,+\infty)\). Uwagi: 1. Jeżeli zdający rozwiązuje warunek \(\Delta\geq 0\), to za tę część rozwiązania otrzymuje 0 punktów. 2. Jeżeli zdający: a) nie rozwiąże wszystkich warunków I) – V) określonych w kryterium za 1 punkt albo b) podczas rozwiązywania warunków I) – V) popełni błędy rachunkowe i otrzyma zbiory rozwiązań, których część wspólna jest zbiorem pustym, albo c) popełni błąd, który nie jest rachunkowy, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie. **Zasady oceniania (dla sposobu III)** **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **1 pkt** – zapisanie warunków A) – E): A) \(\Delta>0\), B) \(x_1+2+x_2+2>0\), C) \(x_1\cdot x_2+2(x_1+x_2)+4>0\), D) \(2-x_1+2-x_2>0\), E) \(x_1\cdot x_2-2(x_1+x_2)+4>0\), ALBO rozwiązanie jednego z warunków A) – E): A) \(\Delta>0\): \(m\in(0,+\infty)\), B) \(x_1+2+x_2+2>0\): \(m\in\left(-\infty,-\frac{1}{2}\right)\cup(0,+\infty)\), C) \(x_1\cdot x_2+2(x_1+x_2)+4>0\): \(m\neq 0\), D) \(2-x_1+2-x_2>0\): \(m\in(-\infty,0)\cup\left(\frac{1}{2},+\infty\right)\), E) \(x_1\cdot x_2-2(x_1+x_2)+4>0\): \(m\in(-\infty,0)\cup\left(0,\frac{1}{4}\right)\cup(1,+\infty)\). **2 pkt** – rozwiązanie trzech warunków spośród warunków A) – E) określonych w kryterium za 1 punkt. **3 pkt** – rozwiązanie czterech warunków spośród warunków A) – E) określonych w kryterium za 1 punkt. **4 pkt** – rozwiązanie pięciu warunków A) – E) określonych w kryterium za 1 punkt. **5 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \((1,+\infty)\). Uwagi: 1. Jeżeli zdający rozwiązuje warunek \(\Delta\geq 0\), to za tę część rozwiązania otrzymuje 0 punktów. 2. Jeżeli zdający: a) nie rozwiąże wszystkich warunków A) – E) określonych w kryterium za 1 punkt albo b) podczas rozwiązywania warunków A) – E) popełni błędy rachunkowe i otrzyma zbiory rozwiązań, których część wspólna jest zbiorem pustym, albo c) popełni błąd, który nie jest rachunkowy, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.

**Wymagania ogólne:** IV. Użycie i tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** 3.2R) Zdający rozwiązuje równania i nierówności liniowe i kwadratowe z parametrem. 4.12) Zdający wykorzystuje własności funkcji kwadratowej liniowej i kwadratowej do interpretacji zagadnień geometrycznych […].