Stereometria
Zadanie 26, czerwiec 2026, poziom podstawowy
Tworząca stożka o promieniu podstawy \(3\) ma długość \(6\).
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń.
\(1\). Pole powierzchni bocznej tego stożka jest dwukrotnie większe od pola jego podstawy.
\(2\). Kąt rozwarcia stożka ma \(60^{\circ}\).
Odpowiedź
**P, P.** Pole boczne wynosi \(P_b=\pi rl=\pi\cdot3\cdot6=18\pi\), czyli jest dwukrotnie większe od pola podstawy \(P_p=9\pi\). Przekrój osiowy ma boki \(6\), \(6\), \(6\), więc kąt rozwarcia stożka ma miarę \(60^{\circ}\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Stwierdzenie 1.** Pole podstawy stożka o promieniu \(r=3\) jest równe \(P_p=\pi r^{2}=9\pi\), a pole powierzchni bocznej — \(P_b=\pi rl\), gdzie \(l=6\) jest tworzącą:
\[P_b=\pi\cdot3\cdot6=18\pi=2\cdot9\pi=2P_p.\]
Stwierdzenie jest **prawdziwe**.
**Stwierdzenie 2.** Przekrojem osiowym stożka jest trójkąt równoramienny o ramionach równych tworzącej i podstawie równej średnicy podstawy stożka:
\[l=l=6,\qquad 2r=6.\]
Wszystkie boki są równe, więc przekrój jest trójkątem równobocznym, a kąt rozwarcia stożka, czyli kąt przy jego wierzchołku, ma miarę \(60^{\circ}\). Stwierdzenie jest **prawdziwe**.
**Odpowiedź.** P, P
Klucz i zasady oceniania
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Wymagania podstawy programowej
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. X.5) i X.4) Zdający oblicza pole powierzchni stożka oraz rozpoznaje i oblicza kąt rozwarcia stożka.
