Geometria analityczna
Zadanie 33, czerwiec 2011, poziom podstawowy
Wyznacz równanie okręgu przechodzącego przez punkt \(A=(1,8)\) i stycznego do obu osi układu współrzędnych. Rozważ wszystkie przypadki.
Odpowiedź
(x−\(5\))\(2\)+(y−\(5\))\(2=25\) lub (x−\(13\))\(2\)+(y−\(13\))\(2=169\)
Rozwiązanie krok po kroku
Okrąg styczny do obu osi ma środek w równej odległości od nich, a ta odległość jest jego promieniem. Punkt \(A=(1,8)\) leży w pierwszej ćwiartce, więc środek również, czyli \(S=(r,r)\) dla pewnego \(r>0\).
Z warunku, że \(A\) leży na okręgu:
\[(1-r)^{2}+(8-r)^{2}=r^{2}\quad\Longleftrightarrow\quad r^{2}-18r+65=0.\]
Wyróżnik \(\Delta=324-260=64\), więc
\[r=\frac{18-8}2=5\qquad\text{albo}\qquad r=\frac{18+8}2=13.\]
Oba rozwiązania są dodatnie, więc oba są dopuszczalne i zadanie ma dwa rozwiązania:
\[(x-5)^{2}+(y-5)^{2}=25\qquad\text{oraz}\qquad (x-13)^{2}+(y-13)^{2}=169.\]
**Odpowiedź.** \((x-5)^2+(y-5)^2=25\) lub \((x-13)^2+(y-13)^2=169\)
Klucz i zasady oceniania
**1–3 pkt** – zapis środka \((r,r)\), warunku przechodzenia przez \(A\) i rozwiązanie równania dla \(r\).
**4 pkt** – oba równania okręgów.
Wymagania podstawy programowej
Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (klucz CKE z 2011 r. nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Geometria analityczna – wyznacza równania okręgów spełniających warunki styczności.
