Ostrosłupy
Zadanie 32, czerwiec 2011, poziom podstawowy
Podstawą ostrosłupa \(ABCDS\) jest romb \(ABCD\) o boku długości \(4\). Kąt \(ABC\) rombu ma miarę \(120^\circ\), \(|AS|=|CS|=10\) i \(|BS|=|DS|\). Oblicz sinus kąta nachylenia krawędzi \(BS\) do płaszczyzny podstawy ostrosłupa.
Odpowiedź
sin α = √(\(\frac{22}{23}\))
Rozwiązanie krok po kroku
W rombie \(ABCD\) o boku \(4\) i kącie \(\angle ABC=120^{\circ}\) obliczamy przekątne. Z twierdzenia cosinusów w trójkącie \(ABC\):
\[|AC|^{2}=4^{2}+4^{2}-2\cdot4\cdot4\cos120^{\circ}=48,\qquad |AC|=4\sqrt3.\]
Kąt \(\angle BAD=60^{\circ}\), więc trójkąt \(ABD\) jest równoboczny i \(|BD|=4\).
Z warunków \(|AS|=|CS|\) oraz \(|BS|=|DS|\) wierzchołek \(S\) leży nad punktem \(O\) przecięcia przekątnych, w którym przekątne dzielą się na połowy:
\[|AO|=2\sqrt3,\qquad |BO|=2.\]
Wysokość ostrosłupa wyznaczamy z trójkąta prostokątnego \(AOS\):
\[H^{2}=|AS|^{2}-|AO|^{2}=100-12=88.\]
Krawędź \(BS\) jest przeciwprostokątną trójkąta \(BOS\):
\[|BS|=\sqrt{H^{2}+|BO|^{2}}=\sqrt{88+4}=\sqrt{92}.\]
Kąt nachylenia krawędzi \(BS\) do podstawy leży w tym trójkącie, naprzeciw wysokości:
\[\sin\alpha=\frac{H}{|BS|}=\frac{\sqrt{88}}{\sqrt{92}}=\sqrt{\frac{22}{23}}.\]
**Odpowiedź.** \(\sin\alpha=\sqrt{\frac{22}{23}}=\frac{\sqrt{506}}{23}\)
Klucz i zasady oceniania
**1–3 pkt** – wyznaczenie środka rzutu w przecięciu przekątnych, wysokości \(\sqrt{88}\) i krawędzi \(BS=\sqrt{92}\).
**4 pkt** – \(\sin\alpha=\sqrt{\tfrac{22}{23}}\).
Wymagania podstawy programowej
Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (klucz CKE z 2011 r. nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Geometria przestrzenna – oblicza kąt nachylenia krawędzi ostrosłupa do podstawy.
