Ciągi
Zadanie 1, próbna styczeń 2004, poziom podstawowy
Janek ma w tym semestrze następujące oceny z języka polskiego:
\[5,\ 5,\ 3,\ 4,\ 3,\ 3,\ 4.\]
a) Oblicz średnią ocen Janka z języka polskiego. Wynik podaj z dokładnością do \(0{,}01\).
b) Oblicz wariancję i odchylenie standardowe. Wyniki podaj z dokładnością do \(0{,}01\).
Odpowiedź
a) Średnia ocen wynosi \(\frac{27}{7}\approx3{,}86\).
b) Wariancja \(\frac{34}{49}\approx0{,}69\), odchylenie standardowe \(\frac{\sqrt{34}}7\approx0{,}83\).
Rozwiązanie krok po kroku
Ocen jest siedem, a ich suma wynosi \(5+5+3+4+3+3+4=27\).
**a)** Średnia arytmetyczna:
\[\bar x=\frac{27}{7}\approx3{,}86.\]
**b)** Wariancję wygodnie policzyć ze wzoru \(\sigma^{2}=\overline{x^{2}}-\left(\bar x\right)^{2}\). Suma kwadratów ocen to \(25+25+9+16+9+9+16=109\), więc
\[\sigma^{2}=\frac{109}{7}-\left(\frac{27}{7}\right)^{2}=\frac{763-729}{49}=\frac{34}{49}\approx0{,}69,\]
a odchylenie standardowe
\[\sigma=\frac{\sqrt{34}}{7}\approx0{,}83.\]
**Odpowiedź.** Średnia \(\approx3{,}86\), wariancja \(\approx0{,}69\), odchylenie standardowe \(\approx0{,}83\).
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.*
**1.1. (1 pkt)** – obliczenie średniej ocen z języka polskiego: \(\overline{x}\approx 3{,}86\).
**1.2. (2 pkt)** – obliczenie wariancji (w tym \(1\) p. za metodę oraz \(1\) p. za obliczenia): \(0{,}69\).
**1.3. (1 pkt)** – obliczenie odchylenia standardowego: \(0{,}83\).
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
