Liczby rzeczywiste
Zadanie 6, próbna styczeń 2004, poziom podstawowy
Ciąg \((a_n)\) określony jest wzorem
\[a_n=n^3-10n^2+31n-30.\]
Wiedząc, że \(a_2=0\), wyznacz wszystkie pozostałe wyrazy tego ciągu równe zero.
Odpowiedź
Pozostałe wyrazy równe zero to \(a_3=0\) i \(a_5=0\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Rozpoznajemy zadanie. „Wyrazy równe zero” to nic innego jak rozwiązania równania \(a_n=0\), czyli równania wielomianowego trzeciego stopnia. Sama treść podpowiada metodę: skoro znamy jeden pierwiastek (\(n=2\)), to z twierdzenia Bézouta wielomian dzieli się bez reszty przez dwumian \((n-2)\), a po podzieleniu zostanie trójmian kwadratowy, z którym już sobie poradzimy.
**Krok \(2\).** Zapisujemy równanie:
\[n^3-10n^2+31n-30=0.\]
**Krok \(3\).** Sprawdzamy podany pierwiastek: \(2^3-10\cdot 2^2+31\cdot 2-30=8-40+62-30=0\) — istotnie \(a_2=0\).
**Krok \(4\).** Dzielimy wielomian przez \((n-2)\):
\[\left(n^3-10n^2+31n-30\right):(n-2)=n^2-8n+15.\]
(Kontrola przez wymnożenie: \((n-2)(n^2-8n+15)=n^3-8n^2+15n-2n^2+16n-30=n^3-10n^2+31n-30\).)
**Krok \(5\).** Zapisujemy równanie w postaci iloczynowej:
\[(n-2)\left(n^2-8n+15\right)=0.\]
Iloczyn jest zerem, gdy \(n=2\) (to znamy) albo gdy \(n^2-8n+15=0\).
**Krok \(6\).** Rozwiązujemy trójmian kwadratowy:
\[\Delta=(-8)^2-4\cdot 1\cdot 15=64-60=4,\qquad \sqrt{\Delta}=2,\]
\[n_1=\frac{8-2}{2}=3,\qquad n_2=\frac{8+2}{2}=5.\]
**Krok \(7\).** Sprawdzamy, czy otrzymane liczby mogą być numerami wyrazów: \(3\) i \(5\) są liczbami naturalnymi dodatnimi, więc odpowiadają im istniejące wyrazy ciągu. Zatem \(a_3=0\) i \(a_5=0\). (Sprawdzenie: \(a_3=27-90+93-30=0\), \(a_5=125-250+155-30=0\).)
**Uwaga.** Zwróć uwagę na dwie rzeczy. Po pierwsze, pytano o POZOSTAŁE wyrazy równe zero, więc w odpowiedzi nie powtarzamy \(a_2\). Po drugie, \(n\) jest numerem wyrazu, więc pierwiastki, które nie są liczbami naturalnymi dodatnimi, trzeba by odrzucić — tutaj oba się nadają, ale sprawdzenie jest obowiązkowe. Odpowiadamy wartościami \(a_3=0\) i \(a_5=0\), a nie samymi liczbami \(3\) i \(5\).
**Odpowiedź.** Pozostałe wyrazy równe zero to \(a_3=0\) i \(a_5=0\).
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.*
**6.1. (1 pkt)** – ułożenie równania z niewiadomą \(n\): \(n^{3}-10n^{2}+31n-30=0\).
**6.2. (1 pkt)** – wykorzystanie twierdzenia Bézouta do rozkładu lewej strony równania na czynniki: \((n-2)\left(n^{2}-8n+15\right)=0\).
**6.3. (1 pkt)** – wyznaczenie pozostałych pierwiastków równania: \(n_{1}=3\), \(n_{2}=5\).
**6.4. (1 pkt)** – wyznaczenie pozostałych wyrazów ciągu równych zero: \(a_{3}=0\), \(a_{5}=0\).
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
