Inne zagadnienia
Zadanie 7, maj 2005, poziom podstawowy
W poniższej tabeli przedstawiono wyniki sondażu przeprowadzonego w grupie uczniów, dotyczącego czasu przeznaczanego dziennie na przygotowanie zadań domowych.
| Czas (w godzinach) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) |
|---|---:|---:|---:|---:|
| Liczba uczniów | \(5\) | \(10\) | \(15\) | \(10\) |
a) Naszkicuj diagram słupkowy ilustrujący wyniki tego sondażu.
b) Oblicz średnią liczbę godzin, jaką uczniowie przeznaczają dziennie na przygotowanie zadań domowych.
c) Oblicz wariancję i odchylenie standardowe czasu przeznaczonego dziennie na przygotowanie zadań domowych. Wynik podaj z dokładnością do \(0{,}01\).
Odpowiedź
b) Średnia wynosi \(2{,}75\) godziny.
c) Wariancja wynosi \(0{,}9375\approx0{,}94\), a odchylenie standardowe \(\approx0{,}97\).
Rozwiązanie krok po kroku
**a) Diagram.** Diagram słupkowy tworzą cztery słupki o wysokościach odpowiadających liczbie uczniów: dla \(1\) godziny — \(5\), dla \(2\) godzin — \(10\), dla \(3\) godzin — \(15\), dla \(4\) godzin — \(10\). Na osi poziomej odkładamy czas w godzinach, na pionowej — liczbę uczniów.
**b) Średnia.** Liczba uczniów wynosi
\[n=5+10+15+10=40,\]
a łączny czas
\[5\cdot1+10\cdot2+15\cdot3+10\cdot4=5+20+45+40=110.\]
Zatem
\[\bar x=\frac{110}{40}=2{,}75.\]
**c) Wariancja i odchylenie standardowe.** Korzystamy ze wzoru \(\sigma^{2}=\frac1n\sum n_i\left(x_i-\bar x\right)^{2}\):
\[\sum n_i\left(x_i-2{,}75\right)^{2}=5\cdot1{,}75^{2}+10\cdot0{,}75^{2}+15\cdot0{,}25^{2}+10\cdot1{,}25^{2},\]
\[=5\cdot3{,}0625+10\cdot0{,}5625+15\cdot0{,}0625+10\cdot1{,}5625=15{,}3125+5{,}625+0{,}9375+15{,}625=37{,}5.\]
Stąd
\[\sigma^{2}=\frac{37{,}5}{40}=0{,}9375\approx0{,}94,\qquad \sigma=\sqrt{0{,}9375}\approx0{,}97.\]
**Odpowiedź.** b) \(\bar x=2{,}75\) godziny. c) \(\sigma^{2}\approx0{,}94\), \(\sigma\approx0{,}97\).
Klucz i zasady oceniania
**Schemat CKE (\(5\) pkt łącznie):**
**1 pkt** – poprawne naszkicowanie diagramu słupkowego
**1 pkt** – obliczenie średniej liczby godzin: \(2{,}75\)
**2 pkt** – obliczenie wariancji: \(1\) pkt za metodę oraz \(1\) pkt za obliczenia; wynik \(\approx0{,}94\)
**1 pkt** – obliczenie odchylenia standardowego: \(\approx0{,}97\)
Wymagania podstawy programowej
**Sprawdzana umiejętność:** przedstawianie danych z tabeli na diagramie słupkowym oraz obliczanie średniej arytmetycznej, wariancji i odchylenia standardowego zestawu danych z wagami.
