Liczby rzeczywiste
Zadanie 2, maj 2005, poziom podstawowy
Dany jest ciąg \((a_n)\), gdzie
\[a_n=\frac{n+2}{3n+1}\qquad\text{dla }n=1,2,3,\ldots.\]
Wyznacz wszystkie wyrazy tego ciągu większe od \(\frac12\).
Odpowiedź
Nierówność \(a_n\gt\frac12\) spełniają tylko \(n=1\) i \(n=2\), czyli wyrazy \(a_{1}=\frac{3}{4}\) oraz \(a_{2}=\frac{4}{7}\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Polecenie, aby wyznaczyć wszystkie wyrazy większe od \(\frac12\), oznacza: rozwiąż nierówność \(a_n\gt\frac12\), ale nie w zbiorze liczb rzeczywistych, tylko dla \(n=1,2,3,\ldots\). Na końcu trzeba podać same wyrazy, a nie ich numery.
**Krok \(2\).** Zapisujemy nierówność, wstawiając wzór ciągu:
\[\frac{n+2}{3n+1}\gt\frac12.\]
**Krok \(3\).** Zanim pomnożymy obie strony przez mianownik, sprawdzamy jego znak. Dla \(n\geqslant1\) mamy \(3n+1\geqslant4\gt0\), więc mnożenie przez \(2(3n+1)\) nie zmienia zwrotu nierówności.
**Krok \(4\).** Mnożymy i porządkujemy:
\[2(n+2)\gt 3n+1,\qquad 2n+4\gt 3n+1,\qquad 3\gt n.\]
**Krok \(5\).** Otrzymaliśmy warunek \(n\lt3\). Ponieważ \(n\) jest liczbą naturalną dodatnią, pozostają tylko \(n=1\) oraz \(n=2\).
**Krok \(6\).** Obliczamy te wyrazy ze wzoru ciągu:
\[a_1=\frac{1+2}{3\cdot1+1}=\frac34,\qquad a_2=\frac{2+2}{3\cdot2+1}=\frac47.\]
**Krok \(7\).** Kontrola: \(a_3=\frac{5}{10}=\frac12\), a więc trzeci wyraz już nie jest większy od \(\frac12\) — to potwierdza, że granicę wyznaczyliśmy dobrze.
**Uwaga.** Nierówność jest ostra, dlatego \(n=3\) odpada mimo równości \(a_3=\frac12\). Odpowiedzią są liczby \(\frac34\) i \(\frac47\), a nie numery \(1\) i \(2\).
**Odpowiedź.** Warunek spełniają dwa wyrazy: \(a_1=\dfrac34\) oraz \(a_2=\dfrac47\).
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.*
**2.1. (1 pkt)** – zapisanie nierówności: \(\frac{[\ldots]}{3n+1}>\frac{1}{2}\)
**2.2. (1 pkt)** – przekształcenie nierówności do postaci liniowej lub iloczynowej: \(n<3\) lub \(2(3-n)(3n+1)>0\)
**2.3. (1 pkt)** – rozwiązanie nierówności w zbiorze liczb naturalnych: \(n=1\) lub \(n=2\)
**2.4. (1 pkt)** – sformułowanie odpowiedzi: \(a_{1}=\frac{3}{4}\), \(a_{2}=\frac{4}{7}\)
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
