Wyrażenia algebraiczne
Zadanie 27, czerwiec 2014, poziom podstawowy
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) i każdej liczby rzeczywistej \(b\) prawdziwa jest nierówność
\[\left(\frac{a+b}{2}\right)^2\leq\frac{a^2+b^2}{2}.\]
Odpowiedź
Nierówność jest prawdziwa dla wszystkich \(a,b\in\mathbb R\).
Rozwiązanie krok po kroku
Obliczamy różnicę prawej i lewej strony:
\[\frac{a^2+b^2}{2}-\left(\frac{a+b}{2}\right)^2=\frac{2a^2+2b^2-(a^2+2ab+b^2)}4=\frac{(a-b)^2}{4}.\]
Ponieważ \((a-b)^2\geq0\), otrzymana różnica jest nieujemna. Stąd
\[\left(\frac{a+b}{2}\right)^2\leq\frac{a^2+b^2}{2}.\]
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – pełny dowód przez sprowadzenie różnicy stron do \(\frac{(a-b)^2}{4}\geq0\)
**1 pkt** – poprawne przekształcenie nierówności do postaci równoważnej \((a-b)^2\geq0\)
**0 pkt** – rozumowanie błędne albo brak dowodu
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
V. Rozumowanie i argumentacja.
**Wymagania szczegółowe:**
Zdający wykorzystuje wzory skróconego mnożenia i nieujemność kwadratu liczby rzeczywistej do dowodzenia nierówności.
