Wyrażenia algebraiczne
Zadanie 1, zbiór zadań z informatora 2025, poziom rozszerzony
Dany jest układ równań
\[\begin{cases}mx+y=m^2,\\4x+my=8,\end{cases}\tag{1}\]
z niewiadomymi \(x\) i \(y\) oraz parametrem \(m\in\mathbb{R}\).
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których układ jest oznaczony, a para liczb \((x,y)\) będąca rozwiązaniem układu spełnia warunek \(|x+y|<2\). Zapisz obliczenia.
Odpowiedź
\[m\in(0,2)\cup(2,4).\]
Rozwiązanie krok po kroku
Układ jest oznaczony, gdy \(4-m^2\neq0\), czyli \(m\in\mathbb{R}\setminus\{-2,2\}\). Z pierwszego równania mamy \(y=m^2-mx\). Po podstawieniu do drugiego:
\[(4-m^2)x=8-m^3,\]
więc
\[x=\frac{m^2+2m+4}{m+2},\qquad y=-\frac{4m}{m+2}.\]
Warunek z zadania przyjmuje postać
\[\left|x+y\right|=\left|\frac{m^2-2m+4}{m+2}\right|<2.\]
Ponieważ \(m^2-2m+4=(m-1)^2+3>0\), otrzymujemy
\[m^2-2m+4<2|m+2|.\]
Dla \(m>-2\) nierówność jest równoważna \(m(m-4)<0\), zatem \(m\in(0,4)\). Dla \(m<-2\) prowadzi do sprzecznej nierówności \(m^2+8<0\). Po wykluczeniu \(m=2\) dostajemy \(m\in(0,2)\cup(2,4)\).
Klucz i zasady oceniania
**6 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik
**5 pkt** – rozwiązanie obu nierówności wymiernych wynikających z warunku wartości bezwzględnej albo obu nierówności po usunięciu wartości bezwzględnej
**4 pkt** – rozwiązanie jednej z tych nierówności
**3 pkt** – poprawne zapisanie dwóch nierówności równoważnych warunkowi \(\left|\frac{m^2-2m+4}{m+2}\right|<2\)
**2 pkt** – poprawne wyznaczenie z układu zarówno \(x\), jak i \(y\)
**1 pkt** – określenie, kiedy układ jest oznaczony, oraz wyznaczenie \(x\) lub \(y\)
**0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - tworzenie pomocniczych obiektów matematycznych w celu przeprowadzenia argumentacji lub rozwiązania problemu.
**Wymagania szczegółowe:**
III.1) Zdający przekształca równania i nierówności w sposób równoważny.
III.1 R) Rozwiązuje nierówności wielomianowe.
III.2 R) Rozwiązuje równania i nierówności wymierne.
III.4 R) Rozwiązuje równania i nierówności z wartością bezwzględną.
IV.1) Rozwiązuje układy równań liniowych z dwiema niewiadomymi.
