Potęgi i pierwiastki
Zadanie 2, zbiór zadań z informatora 2015, poziom podstawowy
Liczba \(\log24\) jest równa:
**A.** \(2\log2+\log20\)
**B.** \(\log6+2\log2\)
**C.** \(2\log6-\log12\)
**D.** \(\log30-\log6\)
Odpowiedź
**B.** \(\log6+2\log2\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Wszystkie odpowiedzi są zbudowane z logarytmów dziesiętnych, więc każdą z nich sprowadzamy do jednego logarytmu i porównujemy z \(\log 24\). Potrzebne wzory: \(\log a+\log b=\log(ab)\), \(\log a-\log b=\log\frac{a}{b}\) oraz \(n\log a=\log a^{n}\).
**Krok \(2\).** Sprawdzamy \(2\log 2+\log 20\):
\[2\log 2=\log 2^{2}=\log 4,\qquad \log 4+\log 20=\log 80\neq\log 24.\]
**Krok \(3\).** Sprawdzamy \(\log 6+2\log 2\):
\[2\log 2=\log 4,\qquad \log 6+\log 4=\log(6\cdot 4)=\log 24.\]
To jest szukana odpowiedź.
**Krok \(4\).** Dla pewności sprawdzamy pozostałe. \(2\log 6-\log 12\):
\[\log 36-\log 12=\log\frac{36}{12}=\log 3\neq\log 24.\]
**Krok \(5\).** Oraz \(\log 30-\log 6\):
\[\log 30-\log 6=\log\frac{30}{6}=\log 5\neq\log 24.\]
**Krok \(6\).** Tylko jedno wyrażenie dało \(\log 24\) — to \(\log 6+2\log 2\).
**Uwaga.** Wszystkie wzory na logarytmy dotyczą iloczynu, ilorazu i potęgi. Nie istnieje wzór na logarytm sumy: \(\log(a+b)\) nie jest równe \(\log a+\log b\). Warto też pamiętać, że współczynnik przed logarytmem staje się wykładnikiem, więc \(2\log 2=\log 4\), a nie \(\log 2+2\).
**Odpowiedź.** B. \(\log 6+2\log 2\)
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – zaznaczenie odpowiedzi **B**
**0 pkt** – inna odpowiedź albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Zdający używa prostych, dobrze znanych obiektów matematycznych.
**Wymagania szczegółowe:**
1.6. Zdający wykorzystuje definicję logarytmu i stosuje w obliczeniach wzory na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi o wykładniku naturalnym.
