Potęgi i pierwiastki
Zadanie 2, sierpień 2021, poziom podstawowy
Liczba
\[\log_6 9+2\log_6 2\]
jest równa
**A.** \(\log_6\frac94\)
**B.** \(1\)
**C.** \(2\)
**D.** \(\log_6\frac{81}{2}\)
Odpowiedź
**C.** \(2\)
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Mamy sumę dwóch logarytmów o tej samej podstawie \(6\), przy czym przed drugim stoi współczynnik \(2\). Do takiej sytuacji pasują dwa wzory: \(n\log_ab=\log_ab^n\) oraz \(\log_ab+\log_ac=\log_a(b\cdot c)\). Stosujemy je po kolei.
**Krok \(2\).** Najpierw wciągamy dwójkę do logarytmu jako wykładnik:
\[2\log_62=\log_62^2=\log_64.\]
**Krok \(3\).** Teraz mamy sumę dwóch logarytmów o tej samej podstawie, więc zamieniamy ją na logarytm iloczynu:
\[\log_69+\log_64=\log_6(9\cdot4)=\log_6 36.\]
**Krok \(4\).** Obliczamy \(\log_636\) wprost z definicji: to wykładnik, do którego trzeba podnieść \(6\), aby otrzymać \(36\). Ponieważ \(6^2=36\), mamy
\[\log_636=2.\]
**Uwaga.** Suma logarytmów to logarytm iloczynu, a nie logarytm sumy. Zapis \(\log_69+\log_64=\log_6 13\) jest błędny — takie właśnie pomyłki prowadzą do odpowiedzi A i D.
**Odpowiedź.** C: \(2\)
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna: C
**0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
I. sprawność rachunkowa.
**Wymagania szczegółowe:**
1.6 stosowanie definicji logarytmu oraz wzorów na logarytm iloczynu i potęgi.
