Logarytmy
Zadanie 4, próbna grudzień 2024, poziom rozszerzony
**Wykaż, że**
\[\frac{1}{\log_2 35+1}+\frac{1}{\log_7 140-\log_7 2}+\frac{1}{\log_5 7+\log_5 2+1}=1.\]
Odpowiedź
Lewa strona jest równa \(1\).
Rozwiązanie krok po kroku
Korzystamy z faktu, że \(1=\log_2 2=\log_5 5\), oraz z własności logarytmów:
\[\log_2 35+1=\log_2 35+\log_2 2=\log_2 70,\]
\[\log_7 140-\log_7 2=\log_7\frac{140}{2}=\log_7 70,\]
\[\log_5 7+\log_5 2+1=\log_5 7+\log_5 2+\log_5 5=\log_5 70.\]
Zatem lewa strona ma postać
\[\frac1{\log_2 70}+\frac1{\log_7 70}+\frac1{\log_5 70}.\]
Ze wzoru na zmianę podstawy logarytmu
\[\frac1{\log_a b}=\log_b a\]
otrzymujemy
\[\log_{70}2+\log_{70}7+\log_{70}5=\log_{70}(2\cdot7\cdot5)=\log_{70}70=1.\]
To należało wykazać.
Klucz i zasady oceniania
**3 pkt** – przeprowadzenie pełnego rozumowania
**2 pkt** – przekształcenie wyrażenia do postaci \(\log_{70}2+\log_{70}7+\log_{70}5\)
**1 pkt** – przekształcenie wyrażenia do postaci \(\frac1{\log_2 70}+\frac1{\log_7 70}+\frac1{\log_5 70}\)
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. Rozumowanie i argumentacja. 1. Przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu.
**Wymagania szczegółowe:**
I.R) Zdający stosuje wzór na zamianę podstawy logarytmu.
