Potęgi i pierwiastki
Zadanie 2, próbna grudzień 2023, poziom podstawowy
**Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.**
Liczba
\[\log_2 96-\log_2 3\]
jest równa
**A.** \(\log_2 93\)
**B.** \(\log_2 30\)
**C.** \(4\)
**D.** \(5\)
Odpowiedź
**D.** \(5\)
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Odejmujemy dwa logarytmy o **tej samej podstawie** \(2\), więc korzystamy ze wzoru na logarytm ilorazu:
\[\log_a x-\log_a y=\log_a\frac{x}{y}.\]
**Krok \(2\).** Podstawiamy nasze liczby:
\[\log_296-\log_23=\log_2\frac{96}{3}=\log_232.\]
**Krok \(3\).** Zapisujemy \(32\) jako potęgę dwójki: \(32=2^5\) (bo \(2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2=32\)).
**Krok \(4\).** Korzystamy z zależności \(\log_a a^k=k\):
\[\log_232=\log_22^5=5.\]
**Uwaga.** Odpowiedź **A** (\(\log_293\)) bierze się z odjęcia liczb pod logarytmami, czyli \(96-3\). Taki wzór nie istnieje: różnicy logarytmów odpowiada iloraz argumentów. Odpowiedź **B** to z kolei efekt odjęcia \(3\) od \(96\) w innym miejscu — również błędny.
**Odpowiedź.** D: \(5\)
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź **D**
**0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji; stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi.
**Wymagania szczegółowe:**
I.1 i I.9 wykonywanie logarytmowania w zbiorze liczb rzeczywistych oraz stosowanie związku logarytmowania z potęgowaniem i wzoru na logarytm ilorazu.
