Potęgi i pierwiastki
Zadanie 3, próbna grudzień 2023, poziom podstawowy
Pan Grzegorz wpłacił do banku pewną kwotę na lokatę dwuletnią. Po każdym rocznym
okresie oszczędzania bank doliczał odsetki w wysokości \(5\%\) od kwoty bieżącego kapitału
znajdującego się na lokacie. Po dwóch latach oszczędzania pan Grzegorz odebrał z tego
banku wraz z odsetkami kwotę \(4851\) zł (bez uwzględnienia podatków).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Kwota wpłacona przez pana Grzegorza na tę lokatę była równa
A. \(4300\) zł B. \(4400\) zł C. \(4500\) zł D. \(4600\) zł
Odpowiedź
B
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Odsetki są doliczane od bieżącego kapitału, czyli mamy do czynienia z procentem składanym. Po każdym roku kapitał mnoży się przez ten sam czynnik \(1+5\%=1{,}05\). Oznaczmy wpłaconą kwotę przez \(x\) i zapiszmy równanie.
**Krok \(2\).** Po pierwszym roku na lokacie jest
\[1{,}05\cdot x.\]
**Krok \(3\).** Po drugim roku odsetki naliczane są od kwoty z kroku \(2\), więc
\[1{,}05\cdot(1{,}05x)=1{,}05^{2}\cdot x.\]
**Krok \(4\).** Z treści wiemy, że po dwóch latach kwota wynosi \(4851\) zł:
\[1{,}05^{2}\cdot x=4851,\qquad\text{a}\qquad 1{,}05^{2}=1{,}1025.\]
**Krok \(5\).** Wyznaczamy \(x\):
\[x=\frac{4851}{1{,}1025}=4400.\]
**Krok \(6\).** Sprawdzamy: \(4400\cdot1{,}05=4620\), a następnie \(4620\cdot1{,}05=4851\). Zgadza się.
**Uwaga.** Nie wolno policzyć odsetek jako \(10\%\) kwoty początkowej (czyli dwa razy po \(5\%\) od tej samej liczby). W drugim roku \(5\%\) liczy się już od \(4620\) zł, a nie od \(4400\) zł - dlatego mnożymy przez \(1{,}05\) dwukrotnie.
**Odpowiedź.** B, czyli \(4400\) zł.
Klucz i zasady oceniania
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024**
**Wymagania ogólne:**
I. Sprawność rachunkowa - wykonywanie obliczeń na liczbach rzeczywistych, także przy użyciu kalkulatora, stosowanie praw działań matematycznych przy przekształcaniu wyrażeń algebraicznych oraz wykorzystywanie tych umiejętności przy rozwiązywaniu problemów w kontekstach rzeczywistych i teoretycznych.
**Wymagania szczegółowe:**
I.8) Zdający wykorzystuje własności potęgowania i pierwiastkowania w sytuacjach praktycznych, w tym do obliczania procentów składanych z kapitalizacją roczną i zysków z lokat.
