Logarytmy
Zadanie 3, maj 2017, poziom podstawowy
Liczba
\[2\log_2 3-2\log_2 5\]
jest równa
**A.** \(\log_2\frac9{25}\)
**B.** \(\log_2\frac35\)
**C.** \(\log_2\frac95\)
**D.** \(\log_2\frac6{25}\)
Odpowiedź
**A.** \(\log_2\frac9{25}\)
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** W odpowiedziach stoi jeden logarytm, a w zadaniu mamy różnicę dwóch. Trzeba więc scalić wyrażenie, korzystając z dwóch własności: \(n\log_{a}b=\log_{a}b^{n}\) oraz \(\log_{a}b-\log_{a}c=\log_{a}\frac{b}{c}\).
**Krok \(2\).** Współczynnik \(2\) przy pierwszym logarytmie wciągamy jako wykładnik:
\[2\log_{2}3=\log_{2}3^{2}=\log_{2}9.\]
**Krok \(3\).** Tak samo postępujemy z drugim składnikiem:
\[2\log_{2}5=\log_{2}5^{2}=\log_{2}25.\]
**Krok \(4\).** Teraz odejmujemy logarytmy o tej samej podstawie, co odpowiada dzieleniu liczb logarytmowanych:
\[\log_{2}9-\log_{2}25=\log_{2}\frac{9}{25}.\]
**Krok \(5\).** Drugi sposób prowadzi do tego samego wyniku: najpierw wyłączamy \(2\) przed nawias, potem wciągamy je jako wykładnik:
\[2\log_{2}3-2\log_{2}5=2\left(\log_{2}3-\log_{2}5\right)=2\log_{2}\frac{3}{5}=\log_{2}\left(\frac{3}{5}\right)^{2}=\log_{2}\frac{9}{25}.\]
**Uwaga.** Pułapką jest odpowiedź \(\log_{2}\frac{3}{5}\) — powstaje wtedy, gdy ktoś odejmie logarytmy, ale zgubi mnożnik \(2\). Mnożnik przed logarytmem nie znika: zawsze staje się wykładnikiem liczby logarytmowanej.
**Odpowiedź.** A. \(\log_{2}\frac{9}{25}\)
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź A
**0 pkt** – odpowiedź błędna lub brak
Wymagania podstawy programowej
**Klasyfikacja CKE:** logarytmy - działania na logarytmach i logarytm ilorazu.
