Równania i nierówności z parametrem
Zadanie 11, lipiec 2020, poziom rozszerzony
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których nierówność
\[(m^2+4m-5)x^2+2x>2mx-2\]
jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej \(x\).
Odpowiedź
\[m\in(-\infty,-11)\cup[1,+\infty).\]
Rozwiązanie krok po kroku
Przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę:
\[(m^2+4m-5)x^2+2(1-m)x+2>0.\]
Współczynnik przy \(x^2\) jest równy
\[m^2+4m-5=(m-1)(m+5).\]
Najpierw rozpatrujemy przypadki liniowe. Dla \(m=1\) otrzymujemy prawdziwą dla każdego \(x\) nierówność \(2>0\). Dla \(m=-5\) otrzymujemy \(12x+2>0\), która nie jest prawdziwa dla każdego \(x\).
Jeśli \(m\neq1\) i \(m\neq-5\), trójmian jest dodatni dla każdego \(x\) dokładnie wtedy, gdy jego współczynnik przy \(x^2\) jest dodatni oraz wyróżnik jest ujemny:
\[(m-1)(m+5)>0,\qquad \Delta<0.\]
Mamy
\[\Delta=[2(1-m)]^2-8(m^2+4m-5)=-4(m-1)(m+11).\]
Zatem
\[(m-1)(m+5)>0\iff m<-5\quad\text{lub}\quad m>1,\]
\[\Delta<0\iff (m-1)(m+11)>0\iff m<-11\quad\text{lub}\quad m>1.\]
Część wspólna tych warunków to \(m<-11\) lub \(m>1\). Po dołączeniu przypadku \(m=1\) otrzymujemy
\[m\in(-\infty,-11)\cup[1,+\infty).\]
Klucz i zasady oceniania
**5 pkt** – pełne rozwiązanie i odpowiedź \(m<-11\) lub \(m\geq1\)
**4 pkt** – poprawne rozwiązanie części kwadratowej i jednego przypadku liniowego
**3 pkt** – poprawne rozwiązanie obu warunków \(a>0\) i \(\Delta<0\) dla przypadku kwadratowego
**2 pkt** – poprawne rozpatrzenie obu przypadków liniowych \(m=1\), \(m=-5\) albo rozwiązanie jednego z dwóch warunków części kwadratowej
**1 pkt** – zauważenie przypadków liniowych i poprawne zbadanie jednego z nich albo zapisanie układu \(a>0\), \(\Delta<0\)
**0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. użycie i tworzenie strategii.
**Wymagania szczegółowe:**
badanie znaku trójmianu kwadratowego z parametrem i rozwiązywanie nierówności kwadratowych.
