Liczby rzeczywiste
Zadanie 3, lipiec 2020, poziom podstawowy
Liczba log_(\(\sqrt{2})(4^{8})\) jest równa
A. \(2\)
B. \(4\)
C. \(32\)
D. \(16\)
Odpowiedź
C. \(32\)
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Mamy obliczyć \(\log_{\sqrt2}4^{8}\). Zarówno podstawa logarytmu, jak i liczba logarytmowana są potęgami dwójki, więc sprowadzamy wszystko do podstawy \(2\). Przypomnijmy: \(\log_{a}b\) to wykładnik, do którego trzeba podnieść \(a\), aby otrzymać \(b\).
**Krok \(2\).** Zamieniamy liczbę logarytmowaną:
\[4^{8}=\left(2^{2}\right)^{8}=2^{2\cdot8}=2^{16}.\]
**Krok \(3\).** Zamieniamy podstawę:
\[\sqrt2=2^{\frac12}.\]
**Krok \(4\).** Oznaczmy szukany logarytm przez \(x\). Z definicji logarytmu:
\[\left(2^{\frac12}\right)^{x}=2^{16}\quad\Longrightarrow\quad 2^{\frac{x}{2}}=2^{16}.\]
**Krok \(5\).** Potęgi o tej samej podstawie są równe dokładnie wtedy, gdy równe są ich wykładniki:
\[\frac{x}{2}=16\quad\Longrightarrow\quad x=32.\]
**Krok \(6\).** Sprawdzamy: \(\left(\sqrt2\right)^{32}=2^{16}=65536\), a \(4^{8}=65536\). Zgadza się.
**Uwaga.** Podstawa \(\sqrt2\) jest mniejsza niż \(2\), więc logarytm musi wyjść większy niż \(16\). Wariant \(16\) to wartość \(\log_{2}4^{8}\), czyli wynik przy pomyleniu podstawy.
**Odpowiedź.** C, czyli \(32\).
Klucz i zasady oceniania
Nie mamy jeszcze opracowanego schematu punktowania do tego zadania.
Wymagania podstawy programowej
Zadanie 3.
Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2020 nie zawiera tabeli wymagań egzaminacyjnych. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Liczby rzeczywiste.
