Logarytmy
Zadanie 6, czerwiec 2021, poziom rozszerzony
Niech
\[\log_2 9=c.\]
Wykaż, że
\[\log_3 54=\frac{3c+2}{c}.\]
Odpowiedź
\[\log_3 54=\frac{3c+2}{c}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Korzystamy ze wzoru na zmianę podstawy logarytmu:
\[\log_3 54=\frac{\log_2 54}{\log_2 3}.\]
Ponieważ \(54=27\cdot2\), otrzymujemy
\[\log_2 54=3\log_2 3+1.\]
Z założenia
\[c=\log_2 9=2\log_2 3,\qquad \log_2 3=\frac c2.\]
Zatem
\[\log_3 54=\frac{3\cdot\frac c2+1}{\frac c2}=\frac{3c+2}{c},\]
co kończy dowód.
Klucz i zasady oceniania
**3 pkt** – pełny poprawny dowód prowadzący do \(\log_3 54=\frac{3c+2}{c}\)
**2 pkt** – przekształcenie jednej lub obu stron do postaci, od której do tezy brakuje zastosowania jednego wzoru albo jednego przekształcenia
**1 pkt** – poprawne zastosowanie wzoru na zmianę podstawy albo własności logarytmu iloczynu, ilorazu lub potęgi
**0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. rozumowanie i argumentacja - przeprowadzanie dowodu algebraicznego.
**Wymagania szczegółowe:**
stosowanie definicji i własności logarytmów, w tym wzoru na zmianę podstawy logarytmu.
