Logarytmy
Zadanie 5, czerwiec 2014, poziom podstawowy
\(1\)
Dane są liczby: \(a = \log , b = \log 3 , c = \log\) . Który z poniższych warunków jest
\(3\) \(9\) \(3\) \(3\) \(27\)
prawdziwy?
A. \(c < b < a B\). \(b < c < a C\). \(a < c < b D\). \(c < a < b\)
Odczyt redakcyjny — treść w arkuszu jest uszkodzona
Prawdopodobny zapis liczb: \(a=\log_3\frac19\), \(b=\log_3 3\), \(c=\log_3 27\); wtedy \(a=-2\), \(b=1\), \(c=3\), czyli \(a<b<c\). Listy wariantów **nie odtwarzamy** — w zapisie zastanym jest ona uszkodzona i żaden z czterech wariantów nie odpowiada literze z klucza.
Inwentarz tokenów: wiersz niższy zawiera dokładnie 3, 9, 3, 3 i 27 (podstawa i mianownik dla a, podstawa dla b, podstawa i argument dla c), a wiersz wyższy pojedynczą 1 — licznik ułamka jedna dziewiąta. Ten sam układ występuje w nieuszkodzonych zadaniach tej serii. Listy wariantów nie odtwarzamy, bo brak dla niej podstawy.Odpowiedź
**D.** \(c\lt a\lt b\), bo \(a=\log_{3}\frac13=-1\), \(b=\log_{9}3=\frac12\), \(c=\log_{3}\frac{1}{27}=-3\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Porównujemy trzy liczby zapisane jako logarytmy:
\[a=\log_{3}\frac13,\qquad b=\log_{9}3,\qquad c=\log_{3}\frac{1}{27}.\]
Żadnej z nich nie da się porównać na oko - najpewniejsza metoda to obliczyć każdą osobno z definicji logarytmu: \(\log_{p}q=x\) oznacza dokładnie tyle, co \(p^{x}=q\).
**Krok \(2\).** Liczymy \(a\). Szukamy wykładnika \(x\), dla którego \(3^{x}=\frac13\). Ponieważ \(\frac13=3^{-1}\), mamy
\[a=-1.\]
**Krok \(3\).** Liczymy \(b\). Szukamy \(x\) takiego, że \(9^{x}=3\). Zapisujemy \(9=3^2\), więc \(3^{2x}=3^{1}\), skąd \(2x=1\) i
\[b=\frac12.\]
**Krok \(4\).** Liczymy \(c\). Szukamy \(x\) takiego, że \(3^{x}=\frac{1}{27}\). Ponieważ \(27=3^3\), to \(\frac{1}{27}=3^{-3}\) i
\[c=-3.\]
**Krok \(5\).** Ustawiamy trzy liczby rosnąco:
\[-3\lt -1\lt \frac12,\qquad\text{czyli}\qquad c\lt a\lt b.\]
**Uwaga.** Logarytm liczby mniejszej od \(1\) przy podstawie większej od \(1\) jest **ujemny**, i to on jest tu najmniejszy. Przy porównywaniu liczb ujemnych pamiętaj, że \(-3\) leży na osi na lewo od \(-1\), więc \(-3\) jest mniejsze.
**Odpowiedź.** D: \(c\lt a\lt b\)
Klucz i zasady oceniania
Nie mamy jeszcze opracowanego schematu punktowania do tego zadania.
Wymagania podstawy programowej
Zadanie 5. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2014 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Liczby rzeczywiste.
