Potęgi i pierwiastki
Zadanie 2, arkusz pokazowy 2023, poziom podstawowy
**Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.**
Wartość wyrażenia
\[\log_7 98-\log_7 2\]
jest równa
**A.** \(7\)
**B.** \(2\)
**C.** \(1\)
**D.** \(-1\)
Odpowiedź
**B.** \(2\)
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Mamy różnicę dwóch logarytmów o **tej samej podstawie** \(7\). To sygnał, by zastosować wzór na logarytm ilorazu:
\[\log_a x-\log_a y=\log_a\frac{x}{y}.\]
**Krok \(2\).** Stosujemy go do naszego wyrażenia:
\[\log_798-\log_72=\log_7\frac{98}{2}=\log_749.\]
**Krok \(3\).** Zauważamy, że \(49=7^2\), a więc argument logarytmu jest potęgą jego podstawy:
\[\log_749=\log_77^2.\]
**Krok \(4\).** Z definicji logarytmu \(\log_a a^k=k\), zatem \(\log_77^2=2\).
**Krok \(5\).** Można też pomyśleć wprost: \(\log_749\) to wykładnik, do którego trzeba podnieść \(7\), aby otrzymać \(49\). Ponieważ \(7^2=49\), tym wykładnikiem jest \(2\).
**Uwaga.** Odejmowanie logarytmów odpowiada **dzieleniu** liczb stojących pod logarytmami. Odjęcie ich od siebie (\(98-2=96\)) jest błędem — wtedy wynik nie byłby liczbą całkowitą i żadna z odpowiedzi by nie pasowała.
**Odpowiedź.** B: \(2\)
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź **B**
**0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
I. sprawność rachunkowa.
**Wymagania szczegółowe:**
I.9 stosowanie związku logarytmowania z potęgowaniem oraz wzorów na logarytm iloczynu, ilorazu i potęgi.
