Zadanie 12 – matura z matematyki maj 2003, poziom rozszerzony

Funkcja \(f\) jest ciągła w punkcie \(x=1\), bo \(\lim_{x\to1}f(x)=1=f(1)\); nie jest natomiast ciągła w punkcie \(x=2\), bo \(\lim_{x\to2}f(x)=2\neq3=f(2)\).

**Krok \(1\).** Funkcja jest zadana wzorem sklejanym: osobno dla \(x\neq1,2\), osobno w samych punktach \(1\) i \(2\). Ciągłość w punkcie \(x_0\) sprawdzamy zawsze tak samo: liczymy granicę \(\lim_{x\to x_0}f(x)\) i porównujemy ją z wartością \(f(x_0)\). Jeśli obie liczby są równe, funkcja jest w tym punkcie ciągła. **Krok \(2\).** Zacznijmy od uproszczenia wzoru z pierwszego wiersza. Mianownik jest trójmianem, więc rozkładamy go na czynniki: \(\Delta=9-8=1\), pierwiastki to \(1\) i \(2\), czyli \[x^2-3x+2=(x-1)(x-2).\] **Krok \(3\).** Podstawiamy ten rozkład i skracamy: \[f(x)=\frac{x(x-1)(x-2)}{(x-1)(x-2)}=x\qquad\text{dla }x\neq1\text{ i }x\neq2.\] To skrócenie wolno wykonać właśnie dlatego, że rozważamy tylko \(x\) różne od \(1\) i od \(2\), a więc nie dzielimy przez zero. **Krok \(4\).** Granicę liczymy po wzorze z pierwszego wiersza, bo granica opisuje zachowanie funkcji w pobliżu punktu, a nie w samym punkcie. Zatem \[\lim_{x\to1}f(x)=\lim_{x\to1}x=1.\] **Krok \(5\).** Wartość w punkcie odczytujemy z drugiego wiersza wzoru: \(f(1)=1\). Ponieważ \(\lim_{x\to1}f(x)=1=f(1)\), funkcja jest ciągła w punkcie \(x=1\). **Krok \(6\).** Tak samo postępujemy w drugim punkcie: \[\lim_{x\to2}f(x)=\lim_{x\to2}x=2,\qquad f(2)=3.\] Liczby \(2\) i \(3\) są różne, więc warunek ciągłości nie jest spełniony. **Uwaga.** Najczęstszy błąd to wstawienie \(x=2\) do skróconego wzoru \(f(x)=x\) i uznanie, że \(f(2)=2\). Skrócony wzór obowiązuje tylko poza punktami \(1\) i \(2\); wartości w tych punktach są narzucone osobno i to one decydują o ciągłości. **Odpowiedź.** Funkcja \(f\) jest ciągła w punkcie \(x=1\) (bo \(\lim_{x\to1}f(x)=1=f(1)\)), a nie jest ciągła w punkcie \(x=2\) (bo \(\lim_{x\to2}f(x)=2\neq3=f(2)\)).

**1. (1 pkt)** – zapisanie wyrażenia \(\frac{x(x-1)(x-2)}{x^{2}-3x+2}\) w prostszej postaci. Odp. \(x\) **2. (1 pkt)** – obliczenie granicy funkcji \(f\) w punkcie \(x=1\). Odp. \(1\) **3. (1 pkt)** – obliczenie granicy funkcji \(f\) w punkcie \(x=2\). Odp. \(2\) **4. (2 pkt)** – sformułowanie odpowiedzi. Odp. Funkcja \(f\) jest ciągła w punkcie \(x=1\); funkcja \(f\) nie jest ciągła w punkcie \(x=2\). Za każdą część odpowiedzi – \(1\) punkt.

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.