Inne zagadnienia
Zadanie 14, maj 2005, poziom rozszerzony
Oblicz:
\[\lim_{n\to\infty}\frac{1+4+7+\ldots+(3n-2)}{5+7+9+\ldots+(2n+3)}.\]
Odpowiedź
\[\lim_{n\to\infty}\frac{1+4+7+\ldots+(3n-2)}{5+7+9+\ldots+(2n+3)}=\frac32.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Zarówno licznik, jak i mianownik są sumami początkowych wyrazów ciągów arytmetycznych; wyznaczamy je ze wzoru
\[S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n.\]
**Licznik.** Ciąg \(1,4,7,\ldots\) ma \(a_1=1\) i różnicę \(r=3\), a jego \(n\)-ty wyraz to \(a_n=1+3(n-1)=3n-2\) — zgadza się z ostatnim składnikiem, więc sumujemy \(n\) wyrazów:
\[S_n=\frac{1+(3n-2)}{2}\cdot n=\frac{n(3n-1)}{2}=\frac{3n^{2}-n}{2}.\]
**Mianownik.** Ciąg \(5,7,9,\ldots\) ma \(b_1=5\) i różnicę \(r'=2\), a jego \(n\)-ty wyraz to \(b_n=5+2(n-1)=2n+3\) — również zgadza się z ostatnim składnikiem, więc i tu sumujemy \(n\) wyrazów:
\[S'_n=\frac{5+(2n+3)}{2}\cdot n=\frac{n(2n+8)}{2}=n^{2}+4n.\]
**Granica.** Dla \(n\geq1\) mamy \(S'_n\ne0\), więc
\[\frac{S_n}{S'_n}=\frac{\frac{3n^{2}-n}{2}}{n^{2}+4n}=\frac{3n^{2}-n}{2n^{2}+8n}.\]
Licznik i mianownik są wielomianami tego samego, drugiego stopnia, więc granica jest ilorazem współczynników przy \(n^{2}\):
\[\lim_{n\to\infty}\frac{3n^{2}-n}{2n^{2}+8n}=\frac32.\]
**Odpowiedź.** Granica jest równa \(\frac32\).
Klucz i zasady oceniania
**Schemat CKE (\(5\) pkt łącznie):**
**2 pkt** – wyznaczenie \(a_1=1\), \(r=3\) oraz sumy licznika \(S_n=\frac{3n^{2}-n}{2}\) (\(1\) pkt za metodę, \(1\) pkt za obliczenia)
**2 pkt** – wyznaczenie \(b_1=5\), \(r'=2\) oraz sumy mianownika \(S'_n=n^{2}+4n\) (\(1\) pkt za metodę, \(1\) pkt za obliczenia)
**1 pkt** – obliczenie granicy: \(\frac32\)
Wymagania podstawy programowej
**Sprawdzana umiejętność:** stosowanie wzoru na sumę początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego oraz obliczanie granicy ciągu będącego ilorazem wielomianów tego samego stopnia.
