Graniastosłupy
Zadanie 12.1, czerwiec 2025, poziom rozszerzony
Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o polu powierzchni całkowitej równym \(24\sqrt{3}\).
Wykaż, że objętość \(V\) graniastosłupa w zależności od długości \(a\) krawędzi podstawy jest określona wzorem
\[V(a)=6a-\frac{1}{8}a^{3}.\]
Odpowiedź
Jeżeli \(h\) jest wysokością graniastosłupa, to \(2\cdot\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}+3ah=24\sqrt{3}\), więc \(h=\frac{8\sqrt{3}}{a}-\frac{a\sqrt{3}}{6}\). Zatem \(V(a)=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}\cdot h=6a-\frac{a^{3}}{8}\).
Rozwiązanie krok po kroku
Oznaczmy krawędź podstawy przez \(a\), a wysokość graniastosłupa przez \(h\). Podstawami są trójkąty równoboczne, a ścianami bocznymi trzy prostokąty, więc
\[P_c=2\cdot\frac{a^{2}\sqrt3}4+3ah=24\sqrt3.\]
Stąd
\[3ah=24\sqrt3-\frac{a^{2}\sqrt3}2\quad\Longrightarrow\quad h=\frac{8\sqrt3}{a}-\frac{a\sqrt3}6.\]
Objętość graniastosłupa:
\[V(a)=\frac{a^{2}\sqrt3}4\cdot h=\frac{a^{2}\sqrt3}4\left(\frac{8\sqrt3}{a}-\frac{a\sqrt3}6\right)=6a-\frac{a^{3}}8.\]
**Odpowiedź.** \(V(a)=6a-\frac18a^{3}\)
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – poprawne przekształcenia i przeprowadzenie pełnego rozumowania.
**1 pkt** – wyznaczenie wysokości graniastosłupa w zależności od długości krawędzi podstawy graniastosłupa, np. \(H=\frac{48\sqrt{3}-a^2\cdot\sqrt{3}}{6a}\).
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. Rozumowanie i argumentacja - przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu.
**Wymagania szczegółowe:**
X.5) Zdający oblicza objętości i pola powierzchni graniastosłupów […].
