Graniastosłupy
Zadanie 24, czerwiec 2025, poziom podstawowy
Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe \(94{,}5\). Długości trzech krawędzi wychodzących z tego samego wierzchołka prostopadłościanu tworzą ciąg geometryczny o ilorazie równym \(4\).
Oblicz objętość tego prostopadłościanu. Zapisz obliczenia.
Odpowiedź
\[V=27.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Krawędzie wychodzące z jednego wierzchołka tworzą ciąg geometryczny o ilorazie \(4\), więc mają długości \(a\), \(4a\) i \(16a\).
Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu:
\[P_c=2\left(a\cdot4a+a\cdot16a+4a\cdot16a\right)=2\left(4a^{2}+16a^{2}+64a^{2}\right)=168a^{2}.\]
Z warunku \(168a^{2}=94{,}5\) otrzymujemy \(a^{2}=\frac9{16}\), czyli \(a=\frac34\) (długość jest dodatnia).
Objętość:
\[V=a\cdot4a\cdot16a=64a^{3}=64\cdot\frac{27}{64}=27.\]
**Odpowiedź.** \(V=27\)
Klucz i zasady oceniania
1 pkt: zapisanie krawędzi jako a, 4a, 16a.
2 pkt: zapisanie poprawnego równania pola albo V=64a³.
3 pkt: obliczenie a=3/4 albo a²=9/16.
4 pkt: poprawna metoda i V=27.
Wymagania podstawy programowej
Wymaganie ogólne: IV. Rozumowanie i argumentacja.
Wymaganie szczegółowe: X.5) Oblicza objętości i pola graniastosłupów; VI.7) wykorzystuje ciąg geometryczny.
