Graniastosłupy
Zadanie 57.2, zbiór zadań z informatora 2025, poziom podstawowy
W prostopadłościanie \(ABCDEFGH\) dane są
\[\tan\beta=\frac97,\qquad\lvert BG\rvert=2\sqrt{130},\qquad\lvert BH\rvert=2\sqrt{194},\]
gdzie \(BH\) jest przekątną prostopadłościanu, \(BG\) jest przekątną ściany bocznej \(BCGF\), a \(\beta\) jest miarą kąta \(GBC\).
Oblicz pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu \(ABCDEFGH\).
Odpowiedź
\[P_c=1528.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Oznaczmy \(BC=b\), \(CG=c\), \(GH=a\). W trójkącie prostokątnym \(BCG\)
\[\frac cb=\tan\beta=\frac97,\qquad b^2+c^2=(2\sqrt{130})^2=520.\]
Zatem \(c=\frac97b\), więc \(b=14\), \(c=18\). W trójkącie prostokątnym \(BGH\)
\[a^2+(2\sqrt{130})^2=(2\sqrt{194})^2,\]
czyli \(a^2=256\) i \(a=16\). Pole powierzchni całkowitej wynosi
\[P_c=2(ab+bc+ac)=2(16\cdot14+14\cdot18+16\cdot18)=1528.\]
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – poprawna metoda i wynik \(P_c=1528\)
**3 pkt** – obliczenie krawędzi \(BC=14\), \(CG=18\), \(GH=16\)
**2 pkt** – obliczenie dwóch pierwszych krawędzi albo \(GH=16\) i zapis układu dla pozostałych
**1 pkt** – poprawny układ dla \(BC\), \(CG\) albo obliczenie \(GH=16\)
**0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. IV. Rozumowanie i argumentacja.
**Wymagania szczegółowe:**
X.3) Zdający rozpoznaje kąty i odcinki w graniastosłupach.
X.5) Oblicza pola powierzchni graniastosłupów z wykorzystaniem trygonometrii.
