Potęgi i pierwiastki
Zadanie 58, zbiór zadań z informatora 2025, poziom podstawowy
Dane są dwa podobne prostopadłościany \(\mathcal B_1\) oraz \(\mathcal B_2\). Objętość prostopadłościanu \(\mathcal B_1\) jest równa \(V\), a objętość prostopadłościanu \(\mathcal B_2\) jest równa \(27V\). Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu \(\mathcal B_1\) jest równe \(P\).
Dokończ zdanie. Zaznacz odpowiedź **A**, **B** albo **C** oraz jej uzasadnienie **\(1\)**, **\(2\)** albo **\(3\)**.
Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu \(\mathcal B_2\) jest równe
**A.** \(27P\)
**B.** \(9P\)
**C.** \(3\sqrt3P\)
ponieważ stosunek pól powierzchni całkowitych prostopadłościanów podobnych jest równy
**\(1\).** stosunkowi objętości tych prostopadłościanów.
**\(2\).** pierwiastkowi kwadratowemu ze stosunku objętości tych prostopadłościanów.
**\(3\).** kwadratowi stosunku długości odcinków odpowiadających w obu prostopadłościanach.
Odpowiedź
**\(B_{3}\).** \(9P\)
Rozwiązanie krok po kroku
Stosunek objętości podobnych brył jest sześcianem skali podobieństwa. Zatem
\[k^3=27,\qquad k=3.\]
Stosunek pól powierzchni jest kwadratem skali, więc
\[\frac{P_2}{P_1}=k^2=9.\]
Ponieważ \(P_1=P\), otrzymujemy \(P_2=9P\). Poprawne uzasadnienie mówi o kwadracie stosunku długości odpowiadających odcinków.
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź **B3**
**0 pkt** – odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. IV. Rozumowanie i argumentacja - dostrzeganie podobieństw.
**Wymagania szczegółowe:**
X.6) Zdający wykorzystuje zależność między objętościami brył podobnych.
