Graniastosłupy
Zadanie 43.2, zbiór zadań z informatora 2023, poziom podstawowy
**Informacja do zadań \(43\).\(1\).–\(43\).\(2\).**
Dany jest prostopadłościan \(ABCDEFGH\), w którym prostokąty \(ABCD\) i \(EFGH\) są jego podstawami. Odcinek \(BH\) jest przekątną tego prostopadłościanu.
**Zadanie \(43\).\(2\).**
W prostopadłościanie \(ABCDEFGH\) dane są
\[\tan\beta=\frac97,\qquad |BG|=2\sqrt{130},\qquad |BH|=2\sqrt{194},\]
gdzie odcinek \(BH\) jest przekątną prostopadłościanu, odcinek \(BG\) jest przekątną ściany bocznej \(BCGF\), a \(\beta\) jest miarą kąta \(\angle GBC\).
**Oblicz pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu \(ABCDEFGH\).**
Odpowiedź
Pole powierzchni całkowitej jest równe \(1528\).
Rozwiązanie krok po kroku
Oznaczmy \(|BC|=b\), \(|CG|=c\), \(|GH|=a\). W trójkącie prostokątnym \(BCG\):
\[\tan\beta=\frac cb=\frac97,\qquad b^2+c^2=|BG|^2=520.\]
Zatem \(c=\frac97b\), więc
\[b^2+\left(\frac97b\right)^2=520,\]
co daje \(b=14\) i \(c=18\). W trójkącie prostokątnym \(BGH\):
\[a^2+|BG|^2=|BH|^2,\]
więc
\[a^2=4\cdot194-4\cdot130=256,\qquad a=16.\]
Pole powierzchni całkowitej wynosi
\[P_c=2(ab+bc+ac)=2(16\cdot14+14\cdot18+16\cdot18)=1528.\]
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – poprawna metoda i wynik \(P_c=1528\)
**3 pkt** – poprawne długości wszystkich krawędzi: \(|BC|=14\), \(|CG|=18\), \(|GH|=16\), albo poprawna metoda z drobnym błędem rachunkowym i właściwy wzór na pole
**2 pkt** – obliczenie dwóch krawędzi oraz zapisanie odpowiedniego drugiego równania Pitagorasa
**1 pkt** – poprawny związek \(|CG|/|BC|=9/7\) i równanie Pitagorasa dla \(BCG\), albo równanie Pitagorasa dla \(BGH\)
**0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III.3 i IV.4 tworzenie obiektów pomocniczych i strategii rozwiązania.
**Wymagania szczegółowe:**
X.3 i X.6 kąty w graniastosłupach oraz pola powierzchni graniastosłupów z wykorzystaniem trygonometrii i poznanych twierdzeń.
