Potęgi i pierwiastki
Zadanie 44, zbiór zadań z informatora 2023, poziom podstawowy
Dane są dwa prostopadłościany podobne: \(\mathcal B_1\) oraz \(\mathcal B_2\). Objętość prostopadłościanu \(\mathcal B_1\) jest równa \(V\), a objętość prostopadłościanu \(\mathcal B_2\) jest równa \(27V\). Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu \(\mathcal B_1\) jest równe \(P\).
**Dokończ zdanie. Zaznacz odpowiedź A, B albo C oraz jej uzasadnienie \(1\)., \(2\). albo \(3\).**
Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu \(\mathcal B_2\) jest równe
**A.** \(27P\)
**B.** \(9P\)
**C.** \(3\sqrt3P\)
ponieważ stosunek pól powierzchni całkowitych prostopadłościanów podobnych jest równy
**\(1\).** stosunkowi objętości tych prostopadłościanów.
**\(2\).** pierwiastkowi kwadratowemu ze stosunku objętości tych prostopadłościanów.
**\(3\).** kwadratowi stosunku długości odcinków odpowiadających w obu prostopadłościanach.
Odpowiedź
**\(B_{3}\).** Pole powierzchni całkowitej \(\mathcal B_2\) jest równe \(9P\).
Rozwiązanie krok po kroku
Stosunek objętości podobnych brył jest sześcianem skali podobieństwa \(k\):
\[k^3=\frac{27V}{V}=27,\qquad k=3.\]
Stosunek pól powierzchni jest kwadratem tej skali, zatem
\[\frac{P_2}{P_1}=k^2=9.\]
Ponieważ \(P_1=P\), otrzymujemy \(P_2=9P\). Poprawny zestaw odpowiedzi to **\(B_{3}\)**.
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **B3**
**0 pkt** – odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III.1 i IV.2 operowanie obiektami oraz dostrzeganie regularności i analogii.
**Wymagania szczegółowe:**
X.7 zależność między objętościami brył podobnych i skalą podobieństwa.
