Graniastosłupy
Zadanie 13.1, maj 2024, poziom rozszerzony
Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o objętości \(3456\), których krawędź podstawy ma długość nie większą niż \(8\sqrt3\).
**Zadanie \(13\).\(1\).**
Wykaż, że pole \(P\) powierzchni całkowitej graniastosłupa w zależności od długości \(a\) krawędzi podstawy graniastosłupa jest określone wzorem
\[P(a)=\frac{a^2\sqrt3}{2}+\frac{13824\sqrt3}{a}.\]
Odpowiedź
\[P(a)=\frac{a^2\sqrt3}{2}+\frac{13824\sqrt3}{a}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Oznaczmy wysokość graniastosłupa przez \(H\). Z warunku objętości
\[3456=\frac{a^2\sqrt3}{4}H\]
otrzymujemy
\[H=\frac{4608\sqrt3}{a^2}.\]
Pole powierzchni całkowitej jest równe
\[P=2\cdot\frac{a^2\sqrt3}{4}+3aH,\]
zatem
\[P(a)=\frac{a^2\sqrt3}{2}+\frac{13824\sqrt3}{a}.\]
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – przeprowadzenie pełnego rozumowania
**1 pkt** – wyznaczenie wysokości graniastosłupa w zależności od długości krawędzi podstawy: \(H=\frac{4608\sqrt3}{a^2}\)
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. Rozumowanie i argumentacja.
**Wymagania szczegółowe:**
X.4) Zdający oblicza objętości i pola powierzchni graniastosłupów i ostrosłupów.
