Graniastosłupy
Zadanie 13.2, maj 2024, poziom rozszerzony
Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o objętości \(3456\), których krawędź podstawy ma długość nie większą niż \(8\sqrt3\).
**Zadanie \(13\).\(2\).**
Pole \(P\) powierzchni całkowitej graniastosłupa w zależności od długości \(a\) krawędzi podstawy graniastosłupa jest określone wzorem
\[P(a)=\frac{a^2\sqrt3}{2}+\frac{13824\sqrt3}{a}\]
dla \(a\in(0,8\sqrt3\rangle\).
Wyznacz długość krawędzi podstawy tego z rozważanych graniastosłupów, którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole. Zapisz obliczenia.
Odpowiedź
\[a=8\sqrt3,\qquad P_{\min}=1728+96\sqrt3.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Dla \(a\in(0,8\sqrt3\rangle\) pochodna ma postać
\[P'(a)=a\sqrt3-\frac{13824\sqrt3}{a^2}.\]
Równanie \(P'(a)=0\) daje \(a^3=13824=24^3\), czyli \(a=24\), ale \(24\notin(0,8\sqrt3\rangle\). Dla całej dziedziny zachodzi \(a<24\), więc \(P'(a)<0\). Funkcja \(P\) jest zatem malejąca i przyjmuje najmniejszą wartość dla
\[a=8\sqrt3.\]
Wtedy
\[P(8\sqrt3)=\frac{(8\sqrt3)^2\sqrt3}{2}+\frac{13824\sqrt3}{8\sqrt3}=96\sqrt3+1728.\]
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – uzasadnienie, że funkcja \(P\) przyjmuje wartość najmniejszą dla \(a=8\sqrt3\), i obliczenie \(P_{\min}=1728+96\sqrt3\)
**3 pkt** – poprawne uzasadnienie monotoniczności prowadzące do \(a=8\sqrt3\) albo poprawne wskazanie końca przedziału i obliczenie wartości
**2 pkt** – poprawne rozwiązanie równania \(P'(a)=0\), dającego \(a=24\)
**1 pkt** – wyznaczenie pochodnej \(P'(a)=a\sqrt3-\frac{13824\sqrt3}{a^2}\)
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. Rozumowanie i argumentacja.
**Wymagania szczegółowe:**
XIII.R5) Zdający rozwiązuje zadania optymalizacyjne z zastosowaniem pochodnej.
