Wartości funkcji trygonometrycznych
Zadanie 13, maj 2022, poziom rozszerzony
Dany jest graniastosłup prosty \(ABCDEFGH\) o podstawie prostokątnej \(ABCD\). Przekątne \(AH\) i \(AF\) ścian bocznych tworzą kąt ostry o mierze \(\alpha\) takiej, że
\[\sin\alpha=\frac{12}{13}.\]
Pole trójkąta \(AFH\) jest równe \(26{,}4\). **Oblicz wysokość \(h\) tego graniastosłupa.**
Odpowiedź
\[h=\sqrt{22}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Ponieważ \(\alpha\) jest ostry i \(\sin\alpha=\frac{12}{13}\), mamy \(\cos\alpha=\frac5{13}\). Ze wzoru na pole trójkąta
\[26{,}4=\frac12|AF|\cdot|AH|\sin\alpha,\]
więc
\[|AF|\cdot|AH|=52{,}8\cdot\frac{13}{12}=57{,}2.\]
Wektory \(\overrightarrow{AF}\) i \(\overrightarrow{AH}\) mają wspólną składową pionową \(h\), a ich składowe poziome są prostopadłe. Zatem ich iloczyn skalarny jest równy \(h^2\). Jednocześnie
\[h^2=\overrightarrow{AF}\cdot\overrightarrow{AH}=|AF|\cdot|AH|\cos\alpha.\]
Stąd
\[h^2=57{,}2\cdot\frac5{13}=22,\]
a ponieważ \(h>0\), otrzymujemy \(h=\sqrt{22}\).
Klucz i zasady oceniania
**5 pkt** – poprawna metoda i wynik \(h=\sqrt{22}\)
**4 pkt** – wyznaczenie \(|AF|\cdot|AH|\) i zależności \(h^2=|AF||AH|\cos\alpha\), z drobnym błędem rachunkowym
**3 pkt** – poprawne powiązanie wysokości z iloczynem skalarnym przekątnych
**2 pkt** – obliczenie \(\cos\alpha=\frac5{13}\) i iloczynu \(|AF||AH|=57{,}2\)
**1 pkt** – poprawne zastosowanie wzoru na pole trójkąta \(AFH\)
**0 pkt** – brak poprawnego postępu
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. użycie i tworzenie strategii.
**Wymagania szczegółowe:**
P9.3 i R7.4 stosowanie trygonometrii w graniastosłupach oraz związków miarowych w figurach płaskich.
