Trójkąty
Zadanie 14, maj 2022, poziom rozszerzony
Punkt \(A=(-3,2)\) jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego \(ABC\), w którym \(|AC|=|BC|\). Pole tego trójkąta jest równe \(15\). Bok \(BC\) zawarty jest w prostej o równaniu
\[y=x-1.\]
**Oblicz współrzędne wierzchołków \(B\) i \(C\) tego trójkąta.**
Odpowiedź
Możliwe są cztery pary:
\[C=(4,3),\quad B=(-1,-2)\quad\text{lub}\quad B=(9,8),\]
\[C=(-4,-5),\quad B=(1,0)\quad\text{lub}\quad B=(-9,-10).\]
Rozwiązanie krok po kroku
Prosta zawierająca bok \(BC\) ma postać \(x-y-1=0\). Odległość punktu \(A=(-3,2)\) od tej prostej wynosi
\[d=\frac{|-3-2-1|}{\sqrt2}=3\sqrt2.\]
Ze wzoru na pole
\[15=\frac12|BC|\cdot3\sqrt2,\]
więc \(|BC|=5\sqrt2\). Ponieważ \(|AC|=|BC|\), punkt \(C=(t,t-1)\) spełnia
\[(t+3)^2+(t-3)^2=50.\]
Stąd \(t^2=16\), zatem
\[C=(4,3)\quad\text{lub}\quad C=(-4,-5).\]
Wektor kierunkowy prostej ma postać \((1,1)\), a wektor długości \(5\sqrt2\) równoległy do niej to \((5,5)\) albo \((-5,-5)\). Dodając te wektory do każdego położenia punktu \(C\), otrzymujemy cztery pary podane w odpowiedzi.
Klucz i zasady oceniania
**6 pkt** – poprawne wyznaczenie wszystkich czterech par punktów \(B\) i \(C\)
**5 pkt** – poprawna metoda i trzy z czterech konfiguracji albo drobna usterka rachunkowa
**4 pkt** – wyznaczenie obu punktów \(C\) i poprawnej metody wyznaczenia \(B\)
**3 pkt** – wyznaczenie \(|BC|=5\sqrt2\) oraz równania dla punktu \(C\)
**2 pkt** – obliczenie odległości punktu \(A\) od prostej i długości \(BC\)
**1 pkt** – poprawny istotny krok geometryczny lub analityczny
**0 pkt** – brak poprawnego postępu
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. użycie i tworzenie strategii.
**Wymagania szczegółowe:**
P8.3, P8.6, R8.1 i R8.4 równania prostych, odległość punktów i punktu od prostej oraz współrzędne i długości wektorów.
