Równania kwadratowe
Zadanie 21, maj 2017, poziom podstawowy
Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego, w którym wysokość jest \(3\) razy dłuższa od krawędzi podstawy, jest równe \(140\). Krawędź podstawy jest równa
A. \(\sqrt{10}\)
B. \(3\sqrt{10}\)
C. \(\sqrt{42}\)
D. \(3\sqrt{42}\)
Odpowiedź
**A.** \(\sqrt{10}\)
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Graniastosłup prawidłowy czworokątny ma w podstawie kwadrat, a ściany boczne są prostokątami. Oznaczmy krawędź podstawy przez \(a\). Z treści wynika, że wysokość jest trzy razy dłuższa, czyli \(H=3a\). Dzięki temu całe pole zapiszemy za pomocą jednej niewiadomej.
**Krok \(2\).** Pole powierzchni całkowitej to dwie podstawy i cztery ściany boczne:
\[P_{c}=2a^{2}+4\cdot(a\cdot H).\]
**Krok \(3\).** Wstawiamy \(H=3a\):
\[P_{c}=2a^{2}+4\cdot a\cdot3a=2a^{2}+12a^{2}=14a^{2}.\]
**Krok \(4\).** Korzystamy z podanej wartości pola:
\[14a^{2}=140\quad\Longrightarrow\quad a^{2}=10\quad\Longrightarrow\quad a=\sqrt{10}.\]
**Krok \(5\).** Sprawdzamy: dla \(a=\sqrt{10}\) mamy \(H=3\sqrt{10}\), a wtedy
\[P_{c}=2\cdot10+4\cdot\sqrt{10}\cdot3\sqrt{10}=20+12\cdot10=20+120=140.\]
**Uwaga.** Równanie \(a^{2}=10\) ma dwa rozwiązania: \(\sqrt{10}\) oraz \(-\sqrt{10}\). Krawędź jest długością, więc wartość ujemną odrzucamy. Uwaga też na wariant \(3\sqrt{10}\) - to wysokość bryły, a nie krawędź podstawy.
**Odpowiedź.** A, czyli \(\sqrt{10}\).
Klucz i zasady oceniania
Nie mamy jeszcze opracowanego schematu punktowania do tego zadania.
Wymagania podstawy programowej
Zadanie 21. (0−1)
G11. Bryły. Zdający oblicza pole powierzchni Wersja Wersja
II. Wykorzystanie i objętość graniastosłupa prostego (G11.2). I II
i interpretowanie 3. Równania i nierówności. Zdający
reprezentacji. rozwiązuje równania kwadratowe z jedną A B
niewiadomą (3.4).
