Stereometria
Zadanie 22, maj 2017, poziom podstawowy
Promień AS podstawy walca jest równy wysokości OS walca. Sinus kąta OAS jest równy
A. \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
B. \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)
C. \(\frac{1}{2}\)
D. \(1\)
Odpowiedź
**B.** \(\frac{\sqrt2}{2}\)
Rozwiązanie krok po kroku
Z rysunku odczytujemy, że \(O\) jest środkiem górnej podstawy, \(S\) — środkiem dolnej, a \(A\) leży na okręgu dolnej podstawy. Odcinek \(OS\) jest wysokością walca, więc jest prostopadły do płaszczyzny podstawy, a zatem także do promienia \(SA\). Trójkąt \(OSA\) jest prostokątny z kątem prostym przy wierzchołku \(S\).
Z założenia \(|AS|=|OS|\), więc trójkąt jest prostokątny równoramienny, a jego kąty ostre mają po \(45^{\circ}\). Przeciwprostokątna wynosi
\[|OA|=\sqrt{|OS|^{2}+|AS|^{2}}=|AS|\sqrt2,\]
zatem
\[\sin\angle OAS=\frac{|OS|}{|OA|}=\frac{|AS|}{|AS|\sqrt2}=\frac1{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}2.\]
**Odpowiedź.** \(\sin\angle OAS=\frac{\sqrt2}2\), czyli wariant **B**
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **B**
**0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
Zadanie 22. (0−1)
9. Stereometria. Zdający rozpoznaje Wersja Wersja
II. Wykorzystanie
w walcach i w stożkach kąt między odcinkami I II
i interpretowanie
oraz kąt między odcinkami i płaszczyznami
reprezentacji.
(9.3). B C
