Trygonometria
Zadanie 16, maj 2006, poziom rozszerzony
Obiekty \(A\) i \(B\) leżą po dwóch stronach jeziora. W terenie dokonano pomiarów odpowiednich kątów i ich wyniki przedstawiono na rysunku: \(\angle ABC=130^\circ\) oraz \(\angle ACB=30^\circ\). Odległość między obiektami \(B\) i \(C\) jest równa \(400\,\mathrm{m}\). Oblicz odległość w linii prostej między obiektami \(A\) i \(B\) i podaj wynik, zaokrąglając go do jednego metra.
Odpowiedź
\(\lvert AB\rvert\approx585\ \mathrm{m}\).
Rozwiązanie krok po kroku
Z rysunku odczytujemy miary kątów trójkąta \(ABC\): \(\lvert\angle ABC\rvert=130^\circ\) oraz \(\lvert\angle ACB\rvert=30^\circ\). Zatem
\[\lvert\angle BAC\rvert=180^\circ-130^\circ-30^\circ=20^\circ.\]
Z twierdzenia sinusów, w którym bok \(AB\) leży naprzeciw kąta \(ACB\), a bok \(BC\) naprzeciw kąta \(BAC\),
\[\frac{\lvert AB\rvert}{\sin 30^\circ}=\frac{400}{\sin 20^\circ},\qquad \lvert AB\rvert=\frac{200}{\sin 20^\circ}\approx584{,}8\ \mathrm{m}.\]
**Odpowiedź.** Odległość między obiektami \(A\) i \(B\) wynosi około \(585\ \mathrm{m}\).
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.*
**Zadanie 16.** (\(3\) pkt)
Obiekty \(A\) i \(B\) leżą po dwóch stronach jeziora. W terenie dokonano pomiarów odpowiednich kątów i ich wyniki przedstawiono na rysunku. Odległość między obiektami \(B\) i \(C\) jest równa \(400\,\mathrm{m}\). Oblicz odległość w linii prostej między obiektami \(A\) i \(B\) i podaj wynik, zaokrąglając go do jednego metra.
\(\angle CAB=20^\circ\), ponieważ suma kątów w trójkącie jest równa \(180^\circ\).
Do wyznaczenia szukanej odległości stosuję twierdzenie sinusów: \(\frac{AB}{\sin 30^\circ}=\frac{400}{\sin 20^\circ}\).
Obliczam odległość obiektu \(A\) od obiektu \(B\): \(AB=\frac{200}{\sin 20^\circ}\approx\frac{200}{0{,}342}\approx 584{,}8\)
Odp.: Odległość obiektów w linii prostej jest równa \(585\) metrów.
| Nr czynności | 16.1. | 16.2. | 16.3. |
|---|---:|---:|---:|
| Maks. liczba pkt | \(1\) | \(1\) | \(1\) |
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
