Rachunek prawdopodobieństwa
Zadanie 12, maj 2008, poziom podstawowy
Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo każdego z następujących zdarzeń:
a) \(A\) - w każdym rzucie wypadnie nieparzysta liczba oczek,
b) \(B\) - suma oczek otrzymanych w obu rzutach jest liczbą większą od \(9\),
c) \(C\) - suma oczek otrzymanych w obu rzutach jest liczbą nieparzystą i większą od \(9\).
Odpowiedź
\[P(A)=\frac14,\qquad P(B)=\frac16,\qquad P(C)=\frac1{18}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Zdarzeniami elementarnymi są uporządkowane pary wyników dwóch rzutów. Kostka jest symetryczna, więc wszystkie pary są jednakowo prawdopodobne i
\[|\Omega|=6\cdot6=36.\]
**a)** W obu rzutach ma wypaść liczba nieparzysta; w każdym rzucie są trzy takie wyniki: \(1\), \(3\), \(5\). Z reguły mnożenia \(|A|=3\cdot3=9\), więc
\[P(A)=\frac9{36}=\frac14.\]
**b)** Suma większa od \(9\) to suma \(10\), \(11\) albo \(12\). Wypisujemy pary sprzyjające: \((4,6)\), \((5,5)\), \((6,4)\), \((5,6)\), \((6,5)\), \((6,6)\), czyli \(|B|=6\). Zatem
\[P(B)=\frac6{36}=\frac16.\]
**c)** Zdarzenie \(C\) zawiera się w \(B\); spośród wypisanych sum nieparzysta jest tylko \(11\), a dają ją pary \((5,6)\) i \((6,5)\). Stąd \(|C|=2\) i
\[P(C)=\frac2{36}=\frac1{18}.\]
**Odpowiedź.** \(P(A)=\frac14\), \(P(B)=\frac16\), \(P(C)=\frac1{18}\)
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.*
\(\Omega\) dla tego doświadczenia jest zbiorem wszystkich uporządkowanych par, których wyrazy mogą się powtarzać i każdy z tych wyrazów może być jedną z liczb: \(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(5\), \(6\).
Można ten zbiór opisać w tabelce:
\[\begin{array}{c|cccccc}
& 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\ \hline
1 & (1,1) & (1,2) & (1,3) & (1,4) & (1,5) & (1,6)\\
2 & (2,1) & (2,2) & (2,3) & (2,4) & (2,5) & (2,6)\\
3 & (3,1) & (3,2) & (3,3) & (3,4) & (3,5) & (3,6)\\
4 & (4,1) & (4,2) & (4,3) & (4,4) & (4,5) & (4,6)\\
5 & (5,1) & (5,2) & (5,3) & (5,4) & (5,5) & (5,6)\\
6 & (6,1) & (6,2) & (6,3) & (6,4) & (6,5) & (6,6)
\end{array}\]
\(\lvert\Omega\rvert=6^{2}=36\).
Zdarzeniu \(A\) sprzyja \(9\) zdarzeń elementarnych: \(\{(1,1),(1,3),(1,5),(3,1),(3,3),(3,5),(5,1),(5,3),(5,5)\}\).
Obliczam prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\): \(P(A)=\frac{9}{36}=\frac{1}{4}\).
Zdarzeniu \(B\) sprzyja \(6\) zdarzeń elementarnych. Łatwo je wypisać: \(\{(6,6),(6,5),(6,4),(5,6),(5,5),(4,6)\}\).
Obliczam prawdopodobieństwo zdarzenia \(B\): \(P(B)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}\).
Zdarzeniu \(C\) sprzyjają dwa zdarzenia elementarne: \(\{(6,5),(5,6)\}\).
Obliczam prawdopodobieństwo zdarzenia \(C\): \(P(C)=\frac{2}{36}=\frac{1}{18}\).
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
