Logarytmy
Zadanie 3, zestaw zadań marzec 2008 nr 1, poziom rozszerzony
Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji logarytmicznej opisanej wzorem \(f(x)=\log_{p}{x}\).
a) Na podstawie tego wykresu wyznacz \(p\).
b) Oblicz \(f(0{,}125)\).
c) Sporządź wykres funkcji \(g(x)=|f(x-4)|\).
d) Podaj miejsce zerowe funkcji \(g\).
Odpowiedź
a) \(p=2\). b) \(f(0{,}125)=-3\). c) Wykres \(g\) to wykres \(f\) przesunięty o \(4\) w prawo, z częścią pod osią \(Ox\) odbitą względem tej osi. d) Miejsce zerowe: \(x=5\).
Rozwiązanie krok po kroku
**a)** Z rysunku odczytujemy punkty należące do wykresu, np. \((2,1)\) — a także \((4,2)\) i \((8,3)\). Podstawiając do wzoru \(f(x)=\log_p x\), otrzymujemy \(\log_p 2=1\), czyli \(p^1=2\). Zatem
\[p=2,\qquad f(x)=\log_2 x.\]
**b)** Ponieważ \(0{,}125=\frac18=2^{-3}\),
\[f(0{,}125)=\log_2 2^{-3}=-3.\]
**c)** Wykres \(g(x)=|f(x-4)|\) powstaje w dwóch krokach: najpierw przesuwamy wykres \(f\) o \(4\) jednostki w prawo (dostajemy \(y=\log_2(x-4)\) z asymptotą \(x=4\)), a następnie część leżącą pod osią \(Ox\) odbijamy symetrycznie względem tej osi.
**d)** Miejsce zerowe \(g\) spełnia \(|\log_2(x-4)|=0\), czyli \(\log_2(x-4)=0\), skąd \(x-4=1\) i
\[x=5.\]
**Odpowiedź.** a) \(p=2\). b) \(f(0{,}125)=-3\). c) Przesunięcie o \(4\) w prawo i odbicie części ujemnej. d) \(x=5\).
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.*
**3.1. (1 pkt)** – zapisanie podstawy logarytmu: \(p=2\).
**3.2. (1 pkt)** – obliczenie wartości funkcji \(f\) dla argumentu \(x=0{,}125\): \(f(0{,}125)=-3\).
**3.3. (1 pkt)** – narysowanie wykresu funkcji \(y=f(x-4)\).
**3.4. (1 pkt)** – narysowanie wykresu funkcji \(g\).
(wykres: oś \(x\): \(-8,\ -7,\ -6,\ -5,\ -4,\ -3,\ -2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9,\ 10,\ 11,\ 12,\ 13\); oś \(y\): \(7,\ 6,\ 5,\ 4,\ 3,\ 2,\ 1,\ -1,\ -2,\ -3,\ -4,\ -5,\ -6\); wykresy \(y=\log_{2}(x-4)\) i \(y=\log_{2}x\))
W tej czynności oceniamy poprawność wykonania przekształcenia \(y=\lvert f(x)\rvert\). Punkt przyznajemy również wtedy, gdy zdający niepoprawnie wykona przesunięcie, ale poprawnie wykona przekształcenie \(y=\lvert f(x)\rvert\).
Jeśli zdający od razu narysuje wykres funkcji \(g\), to przyznajemy punkt w czynnościach 3.3 i 3.4.
**3.5. (1 pkt)** – podanie miejsca zerowego funkcji \(g\): \(x=5\).
Czynność 3.5 oceniamy konsekwentnie do uzyskanej przez zdającego funkcji \(g\).
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
