Zadanie 12 – matura z matematyki maj 2013, poziom rozszerzony

a) \(p=-4\). b) Wykres \(y=|f(x)|\) powstaje z wykresu \(f\) przez odbicie względem osi \(Ox\) tej jego części, która leży pod osią; pozostała część nie zmienia się. c) \(m>2\).

**a)** Z rysunku odczytujemy, że wykres ma asymptotę pionową \(x=-4\) oraz przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0,2)\). Asymptota funkcji \(f(x)=\log_2(x-p)\) ma równanie \(x=p\), więc już stąd \(p=-4\). Ten sam wynik daje odczyt \(f(0)=2\): \[\log_2(0-p)=2,\qquad -p=2^2=4,\qquad p=-4.\] Zatem \(f(x)=\log_2(x+4)\) i dziedziną jest \((-4,+\infty)\). **b)** Wykres \(y=|f(x)|\) otrzymujemy z wykresu \(f\): część leżącą **poniżej** osi \(Ox\) (czyli dla \(-4<x<-3\), bo miejscem zerowym \(f\) jest \(x=-3\)) odbijamy symetrycznie względem tej osi, a część leżącą nad osią zostawiamy bez zmian. **c)** Dla \(m>0\) równanie \(|f(x)|=m\) jest równoważne alternatywie \(\log_2(x+4)=m\) lub \(\log_2(x+4)=-m\), skąd \[x_1=2^{m}-4,\qquad x_2=2^{-m}-4.\] Dla \(m>0\) mamy \(2^{-m}<1\), więc \(x_2<-3<0\) — drugi pierwiastek jest zawsze ujemny. Rozwiązania mają przeciwne znaki dokładnie wtedy, gdy pierwszy jest dodatni: \[2^{m}-4>0,\qquad 2^{m}>2^{2},\qquad m>2.\] Dla \(m=2\) byłoby \(x_1=0\), a zero nie ma znaku, więc tej wartości nie przyjmujemy. **Odpowiedź.** a) \(p=-4\). b) Odbicie względem osi \(Ox\) części wykresu leżącej pod tą osią. c) \(m>2\).

**1 pkt** – zdający zapisze, że \(p=-4\); albo narysuje wykres funkcji o wzorze \(y=\lvert f(x)\rvert\); albo poda wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie \(\lvert f(x)\rvert=m\) ma dwa rozwiązania przeciwnych znaków. **2 pkt** – zdający zapisze, że \(p=-4\), i narysuje wykres funkcji o wzorze \(y=\lvert f(x)\rvert\), i nie poda wartości parametru \(m\), dla których równanie ma dwa rozwiązania przeciwnych znaków; albo nie poda wartości \(p\), narysuje wykres funkcji o wzorze \(y=\lvert f(x)\rvert\) i poda wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie \(\lvert f(x)\rvert=m\) ma dwa rozwiązania przeciwnych znaków; albo zapisze, że \(p=-4\), nie narysuje wykresu funkcji o wzorze \(y=\lvert f(x)\rvert\) i poda wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie \(\lvert f(x)\rvert=m\) ma dwa rozwiązania przeciwnych znaków. **3 pkt** – zdający poda wartość \(p=-4\), narysuje wykres funkcji o wzorze \(y=\lvert f(x)\rvert\) i poda wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie \(\lvert f(x)\rvert=m\) ma dwa rozwiązania przeciwnych znaków: \(m>2\). Jeżeli zdający ustala wartości parametru \(m\) na podstawie błędnie narysowanego wykresu funkcji \(y=\lvert f(x)\rvert\), to nie otrzymuje punktu za wyznaczenie tych wartości.

IV. Użycie i tworzenie strategii. Sporządzanie wykresu funkcji y=|f(x)| na podstawie danego wykresu funkcji logarytmicznej y=f(x); badanie liczby rozwiązań równania z parametrem. (IV.4.a.d i 4.a.e.R)