Rachunek prawdopodobieństwa
Zadanie 11, maj 2013, poziom rozszerzony
Rzucamy cztery razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że iloczyn liczb oczek otrzymanych we wszystkich czterech rzutach będzie równy \(60\).
Odpowiedź
Prawdopodobieństwo wynosi \(\frac{5}{108}\). Iloczyn \(60\) można otrzymać jako \(1\cdot 2\cdot 5\cdot 6\), \(1\cdot 3\cdot 4\cdot 5\) albo \(2\cdot 2\cdot 3\cdot 5\). Dwa pierwsze zestawy dają po \(4\)!=\(24\) uporządkowane wyniki, a trzeci \(4\)!/\(2\)!=\(12\). Zdarzeń sprzyjających jest \(60\) spośród \(6^{4}\)=\(1296\), więc P=\(\frac{60}{1296=5}\)/\(108\).
Rozwiązanie krok po kroku
Zdarzeniami elementarnymi są uporządkowane czwórki wyników czterech rzutów. Kostka jest symetryczna, więc wszystkie są jednakowo prawdopodobne i
\[|\Omega|=6^4=1296.\]
Szukamy czwórek o iloczynie \(60=2^2\cdot3\cdot5\). Czynnik \(5\) musi pochodzić od oczka \(5\), bo \(5\) jest pierwsza, a żadne inne oczko nie dzieli się przez \(5\); przy tym oczko \(5\) może wystąpić tylko raz, bo \(25\nmid60\). Pozostałe trzy oczka mają iloczyn \(12\).
Trójki oczek o iloczynie \(12\) to \(\{1,2,6\}\), \(\{1,3,4\}\) oraz \(\{2,2,3\}\). Otrzymujemy więc trzy zestawy czterech oczek:
\(\{1,2,5,6\}\) — wszystkie oczka różne, co daje \(4!=24\) uporządkowania;
\(\{1,3,4,5\}\) — również wszystkie różne, \(4!=24\) uporządkowania;
\(\{2,2,3,5\}\) — dwójka powtarza się dwa razy, więc uporządkowań jest \(\frac{4!}{2!}=12\).
Zestawy są rozłączne, zatem
\[|A|=24+24+12=60,\qquad P(A)=\frac{60}{1296}=\frac5{108}.\]
**Odpowiedź.** \(P(A)=\frac5{108}\)
Klucz i zasady oceniania
**1 punkt za każdy rozpatrzony przypadek** – zasadnicze trudności tego zadania polegają na zauważeniu trzech różnych sposobów otrzymania iloczynu równego \(60\) oraz zliczeniu, w każdym przypadku, liczby różnych czterowyrazowych ciągów. Za każdy rozpatrzony przypadek wraz z obliczoną poprawnie liczbę ciągów zdający otrzymuje \(1\) punkt.
**Czwarty punkt** – przyznamy zdającemu, który zapisze, że prawdopodobieństwo opisanego w treści zadania zdarzenia jest równe \(\tfrac{\lvert A\rvert}{6^{4}}\), gdzie \(\lvert A\rvert\) oznacza obliczoną przez zdającego liczbę ciągów.
Wymagania podstawy programowej
III. Modelowanie matematyczne. Stosowanie twierdzenia znanego jako klasyczna definicja prawdopodobieństwa do obliczania prawdopodobieństw zdarzeń. (III.10.b.d)
