Monotoniczność funkcji liniowej
Zadanie 9, sierpień 2022, poziom podstawowy
Funkcja liniowa \(f\) określona wzorem \(f(x)=(2m-5)x+22\) jest rosnąca dla
**A.** \(m>\frac25\)
**B.** \(m>2{,}5\)
**C.** \(m>0\)
**D.** \(m>2\)
Odpowiedź
**B.** \(m>2{,}5\)
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Funkcja liniowa \(f(x)=ax+b\) jest rosnąca dokładnie wtedy, gdy jej współczynnik kierunkowy \(a\) jest dodatni. Wystarczy więc odczytać, co w tym wzorze pełni rolę \(a\), i zapisać jeden warunek.
**Krok \(2\).** We wzorze \(f(x)=(2m-5)x+22\) współczynnikiem kierunkowym jest cały nawias:
\[a=2m-5.\]
**Krok \(3\).** Zapisujemy warunek monotoniczności rosnącej:
\[2m-5\gt0.\]
**Krok \(4\).** Rozwiązujemy tę nierówność:
\[2m\gt5\quad\Longrightarrow\quad m\gt\frac52=2{,}5.\]
**Krok \(5\).** Sprawdzamy na przykładach: dla \(m=3\) mamy \(f(x)=x+22\), czyli funkcję rosnącą; dla \(m=2\) mamy \(f(x)=-x+22\), czyli malejącą.
**Uwaga.** Wyraz wolny \(22\) nie ma wpływu na monotoniczność. Nierówność musi być ostra: dla \(m=2{,}5\) wzór to \(f(x)=22\), a funkcja stała nie jest rosnąca.
**Odpowiedź.** B, czyli \(m\gt2{,}5\).
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **B**
**0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. użycie obiektów matematycznych i operowanie nimi.
**Wymagania szczegółowe:**
IV.4 korzystanie z własności funkcji liniowej, w tym z warunku jej monotoniczności.
