Funkcja liniowa
Zadanie 13.2, maj 2026, poziom podstawowy
Funkcja liniowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=ax+b\), a jej wykres jest nachylony do osi \(Ox\) pod kątem o mierze \(\alpha\) (zobacz rysunek).
**A.** \(\tan\alpha=-\frac{3}{2}\)
**B.** \(\tan\alpha=-\frac{2}{3}\)
**C.** \(\tan\alpha=\frac{2}{3}\)
**D.** \(\tan\alpha=\frac{3}{2}\)
Podpowiedź
Tangens kąta nachylenia prostej jest równy jej współczynnikowi kierunkowemu.
Nasze opracowanie
Kluczowa idea
Z siatki odczytujemy zmianę \(y\) przypadającą na zmianę \(x\).
Rozwiązanie
Dla zaznaczonej prostej przesunięciu o \(2\) jednostki w prawo odpowiada spadek o \(3\) jednostki. Jej współczynnik kierunkowy jest więc równy \[a=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{-3}{2}.\] Ponieważ \(a=\tan\alpha\), otrzymujemy \(\tan\alpha=-\frac{3}{2}\). Poprawna jest odpowiedź A.
Sprawdzenie
Ujemny tangens zgadza się z tym, że przedstawiona funkcja liniowa jest malejąca.
Odpowiedź
**A.** \(\tan\alpha=-\frac{3}{2}\)
Rozwiązanie krok po kroku
Współczynnik kierunkowy prostej jest równy tangensowi kąta jej nachylenia do osi \(Ox\), czyli \(a=\operatorname{tg}\alpha\).
Z rysunku odczytujemy dwa punkty prostej o współrzędnych całkowitych: punkt przecięcia z osią \(Ox\), czyli \((-2,0)\), oraz punkt przecięcia z osią \(Oy\), czyli \((0,-3)\). Stąd
\[a=\frac{-3-0}{0-(-2)}=-\frac32.\]
Zatem \(\operatorname{tg}\alpha=-\frac32\). Znak ujemny jest zgodny z rysunkiem: kąt \(\alpha\) jest rozwarty, a tangens kąta rozwartego jest ujemny — to od razu wyklucza warianty C i D.
**Odpowiedź.** A: \(\operatorname{tg}\alpha=-\frac32\)
Klucz i zasady oceniania
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
II. Wykorzystanie i tworzenie informacji - interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów, tabel.
**Wymagania szczegółowe:**
V.11) Zdający wykorzystuje własności funkcji liniowej […] do interpretacji zagadnień geometrycznych […].
