Prosta w układzie współrzędnych
Zadanie 20, sierpień 2018, poziom podstawowy
Proste o równaniach
\[y=(3m-4)x+2\qquad\text{oraz}\qquad y=(12-m)x+3m\]
są równoległe, gdy
**A.** \(m=4\)
**B.** \(m=3\)
**C.** \(m=-4\)
**D.** \(m=-3\)
Odpowiedź
**A.** \(m=4\)
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Obie proste są dane w postaci kierunkowej \(y=ax+b\). O nachyleniu prostej decyduje wyłącznie współczynnik kierunkowy \(a\), więc dwie proste są równoległe dokładnie wtedy, gdy ich współczynniki kierunkowe są równe.
**Krok \(2\).** Odczytujemy współczynniki kierunkowe — to całe wyrażenia stojące przy \(x\):
\[a_{1}=3m-4,\qquad a_{2}=12-m.\]
**Krok \(3\).** Zapisujemy warunek równoległości jako równanie z niewiadomą \(m\):
\[3m-4=12-m.\]
**Krok \(4\).** Rozwiązujemy je: niewiadome przenosimy na lewą stronę, liczby na prawą:
\[3m+m=12+4,\qquad 4m=16,\qquad m=4.\]
**Krok \(5\).** Sprawdzamy wynik. Dla \(m=4\) proste mają równania
\[y=8x+2\qquad\text{oraz}\qquad y=8x+12.\]
Mają to samo nachylenie \(8\) i różne wyrazy wolne, więc rzeczywiście są równoległe (i różne).
**Uwaga.** Wyrazy wolne, tu \(2\) i \(3m\), nie wchodzą do warunku równoległości — służą tylko do sprawdzenia, czy proste się nie pokrywają. Gdyby wyszły równe, byłaby to jedna i ta sama prosta.
**Odpowiedź.** A. \(m=4\)
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź A
**0 pkt** – odpowiedź błędna lub brak
Wymagania podstawy programowej
**Klasyfikacja CKE:** geometria analityczna - równoległość prostych na podstawie współczynników kierunkowych.
