Funkcja liniowa
Zadanie 13, maj 2024, poziom podstawowy
Funkcje liniowe \(f(x) = 3x + 6\) oraz \(g(x) =\) ax + \(7\) mają to samo miejsce zerowe. Dokończ zdanie. Współczynnik a we wzorze funkcji \(g\) jest równy
A. \(-\frac{7}{2}\)
B. \(-\frac{2}{7}\)
C. \(\frac{2}{7}\)
D. \(\frac{7}{2}\)
Odpowiedź
**D.** \(a=\frac{7}{2}\)
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Miejsce zerowe funkcji to argument, dla którego wartość funkcji wynosi zero. Warunek „obie funkcje mają to samo miejsce zerowe” wykorzystujemy tak: najpierw liczymy miejsce zerowe funkcji \(f\) (jest w pełni znana), a potem żądamy, żeby \(g\) też się w tym punkcie zerowała.
**Krok \(2\).** Szukamy miejsca zerowego funkcji \(f\):
\[3x+6=0.\]
**Krok \(3\).** Przenosimy \(6\) na prawą stronę i dzielimy przez \(3\):
\[3x=-6,\qquad x=-2.\]
**Krok \(4\).** Skoro \(g\) ma to samo miejsce zerowe, to \(g(-2)=0\). Podstawiamy \(x=-2\) do wzoru funkcji \(g\):
\[a\cdot(-2)+7=0.\]
**Krok \(5\).** Rozwiązujemy to równanie ze względu na \(a\):
\[-2a=-7,\qquad a=\frac{-7}{-2}=\frac72.\]
**Krok \(6\).** Sprawdzenie: dla \(a=\frac72\) mamy \(g(x)=\frac72x+7\), a wtedy \(g(-2)=\frac72\cdot(-2)+7=-7+7=0\). Zgadza się.
**Uwaga.** Miejscem zerowym funkcji \(f(x)=3x+6\) jest \(-2\), a nie \(2\) — przy przenoszeniu \(6\) na drugą stronę zmienia się znak. Ta jedna pomyłka daje \(a=-\frac72\), czyli odpowiedź A.
**Odpowiedź.** D: \(a=\frac72\)
Klucz i zasady oceniania
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania egzaminacyjne 2024**
**Wymagania ogólne:**
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych.
**Wymagania szczegółowe:**
V.6) Zdający wyznacza wzór funkcji liniowej na podstawie informacji o jej wykresie lub o jej własnościach.
